结论前置：工伤期间没有请假，公司一般不能随意开除员工，但具体情况需结合员工未请假的具体原因、公司规章制度以及相关法律法规来综合判断。

1. 工伤期间的特殊保护

根据《工伤保险条例》及相关法律法规，员工在工伤期间享有特殊的法律保护。这意味着，在工伤治疗和康复期间，员工通常不需要按照正常的工作考勤制度来请假，且公司不得随意解除与员工的劳动合同。这是为了保障工伤员工能够安心治疗，尽快恢复健康，重新回到工作岗位。

2. 未请假的具体情况分析

• 合理原因未请假：如果员工因工伤治疗、康复等合理原因未能及时请假，且能够提供相应的医疗证明或相关证据，那么公司通常不能以此为由开除员工。在这种情况下，员工应尽快与公司沟通，说明情况，并补办请假手续。

• 无正当理由未请假：如果员工无正当理由未请假，且长时间旷工，那么公司可能会根据内部规章制度，如《员工手册》或《劳动合同》中的相关规定，对员工进行纪律处分，甚至解除劳动合同。但即便如此，公司在做出开除决定前，也应确保程序合法，如提前通知员工、听取员工申辩等。

3. 公司规章制度的合法性

公司在制定规章制度时，必须确保其内容合法、合理，且经过民主程序制定并公示。如果公司的规章制度中关于请假和开除的规定与法律法规相抵触，或者未经民主程序制定并公示，那么这些规定可能无效。因此，在判断公司是否能开除未请假的工伤员工时，还需审查公司规章制度的合法性。

4. 法律建议

• 对于员工：在工伤期间，应尽量保持与公司的沟通，及时说明情况并补办请假手续。如果因特殊原因无法及时请假，应保留好相关证据，如医疗证明等，以备不时之需。

• 对于公司：在处理未请假的工伤员工时，应谨慎行事，确保程序合法、合理。在做出开除决定前，应充分听取员工的申辩意见，并审查公司规章制度的合法性。

5. 可能的法律后果

如果公司违反法律法规或内部规章制度，随意开除未请假的工伤员工，那么员工有权向劳动争议调解仲裁机构或人民法院提起诉讼或申请仲裁，要求公司承担相应的法律责任，如支付赔偿金、恢复劳动关系等。

总结与进一步思考：工伤期间未请假是否会被开除，取决于多种因素的综合考量。作为员工，应了解自己的权益和义务，及时与公司沟通并保留好相关证据；作为公司，应遵守法律法规和内部规章制度，谨慎处理员工关系问题。如果您在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。