结论：员工未请假私自外出受伤，公司是否可以开除，需根据具体情况判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：

1. 从公司规章制度角度：

   • 如果公司的规章制度中明确规定了员工未经请假擅自外出属于严重违反公司纪律的行为，并且公司有权因此解除劳动合同，同时该规章制度已经经过民主程序制定、公示，且不违反法律法规的强制性规定，那么公司有权依据此规章制度开除员工。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条：“劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：……（二）严重违反用人单位的规章制度的；……”。但前提是规章制度必须合法有效，且员工确实存在严重违反规章制度的行为。

2. 从员工行为性质角度：

   • 如果员工未请假私自外出并非出于工作目的，且该行为并未对公司造成重大损失或影响，那么公司直接开除员工可能构成违法解除劳动合同。因为此时员工的行为虽然违反了公司的纪律，但并未达到“严重违反”的程度。
   • 建议：在这种情况下，公司可以考虑给予员工警告、罚款等纪律处分，而不是直接开除。如果员工的行为确实严重影响了公司的正常运营或造成了重大损失，公司可以依据相关法律法规和规章制度进行严肃处理，但也需要确保处理程序的合法性和公正性。

3. 从工伤认定角度：

   • 员工未请假私自外出受伤，如果该受伤行为与工作无关，那么通常不会被认定为工伤。此时，公司无需承担工伤赔偿责任。但是，这并不意味着公司可以随意开除员工，因为开除员工需要依据公司规章制度和法律法规进行。
   • 特殊情况：如果员工在私自外出期间从事了与公司业务相关的活动，或者该外出行为是公司安排的（尽管未请假），那么受伤可能被认定为工伤。此时，公司需要承担工伤赔偿责任，并且不能随意开除员工。

4. 从程序合法性角度：

   • 无论公司是否决定开除员工，都需要确保处理程序的合法性。这包括通知员工、听取员工陈述和申辩、进行调查取证等步骤。如果公司未按照法定程序进行处理，那么开除决定可能被认定为无效。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十三条：“用人单位单方解除劳动合同，应当事先将理由通知工会。用人单位违反法律、行政法规规定或者劳动合同约定的，工会有权要求用人单位纠正。用人单位应当研究工会的意见，并将处理结果书面通知工会。”

综合建议：

• 公司应首先审查自己的规章制度是否合法有效，并明确规定了员工未经请假擅自外出的处理措施。
• 在处理员工未请假私自外出受伤的事件时，公司应确保处理程序的合法性和公正性，避免侵犯员工的合法权益。
• 如果公司决定开除员工，应确保有充分的证据证明员工的行为严重违反了公司规章制度或法律法规，并且已经按照法定程序进行了处理。
• 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。