针对您提出的“员工因私自兼职受伤单位能开除吗”这一问题，我们需要从多个角度进行详细分析。
首先，要明确的是，员工因私自兼职受伤，这一情境与员工因公受伤在法律上是有显著区别的。员工因公受伤时，根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法规，员工享有特殊的法律保护，公司通常不得随意开除。然而，对于员工因私自兼职受伤的情况，法律并未直接规定公司不得开除，但这并不意味着公司可以随意行使开除权。
一、公司开除员工的法律依据与限制
公司开除员工必须依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，通常包括员工严重违反公司规章制度、被依法追究刑事责任、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害等情形。对于员工因私自兼职受伤，公司若想开除，必须证明该行为符合上述法定开除情形之一。
二、员工私自兼职的性质与影响
员工私自兼职可能涉及违反公司规章制度、影响本职工作或泄露公司机密等问题。如果公司规章制度中明确禁止员工私自兼职，且员工因此行为给公司造成了实际损失或严重影响了工作秩序，那么公司可能有权依据规章制度开除该员工。但这一开除决定必须基于充分的事实证据和合理的规章制度，且需遵循法律规定的程序。
三、公司开除员工的程序要求
即使公司认为员工因私自兼职受伤符合开除条件，也必须遵循严格的法律程序。这包括提供充分证据证明员工存在过错行为、履行通知义务、告知工会等程序。如果公司未遵循这些程序，其开除决定可能被视为违法，需要承担相应的法律责任。
四、建议与总结
综上所述，员工因私自兼职受伤时，公司能否开除取决于多种因素，包括员工的行为是否违反公司规章制度、是否给公司造成损失、公司是否遵循法律程序等。因此，不能简单地一概而论说公司可以或不可以开除。在实际操作中，公司应谨慎处理此类情况，确保开除决定的合法性和合理性。