结论：公司是否会因员工请病假而开除员工，并没有一个绝对的答案，它取决于多种因素，包括员工的病假情况、公司的规章制度以及劳动合同中的相关条款。但通常情况下，合法请病假的员工在医疗期内不会被公司开除。
一、劳动者的病假权利与医疗期保障
根据《劳动合同法》等相关法律法规，劳动者享有休息休假的权利，患病或者非因工负伤时，在规定的医疗期间内，用人单位不得解除劳动合同。医疗期的长短与劳动者的实际工作年限和在本单位的工作年限有关，例如，实际工作年限十年以下且在本单位工作年限五年以下的，医疗期为三个月；实际工作年限十年以上且在本单位工作年限五年以下的，医疗期为六个月等。在此期间，只要劳动者按照用人单位规定的流程提交合法有效的病假证明（如医院诊断书、病历、病假条等），用人单位就不得以员工请病假为由将其开除。
二、病假手续的合规性
劳动者在请病假时，必须遵守用人单位的规章制度，按照规定的流程及时提交病假申请和相关的医疗证明。如果劳动者未按照规定流程操作，或者提供的医疗证明不真实、不充分，用人单位有权依据规章制度对员工进行处理，包括但不限于警告、罚款乃至解除劳动合同。特别地，如果劳动者伪造病假条等，这属于严重违反用人单位规章制度的行为，用人单位可以依法解除劳动合同。
三、特殊情况下劳动合同的解除
尽管劳动者在医疗期内享有病假权利，但在某些特殊情况下，用人单位仍可能依法解除劳动合同。例如：
医疗期满后不能从事原工作及另行安排的工作：当劳动者医疗期满后，不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作时，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同。但此时，用人单位需要支付相应的经济补偿给劳动者。
严重违反规章制度：员工在病假期间若存在严重违反公司规章制度的行为（如提供虚假病假证明、从事与治疗康复无关且严重违反职业道德或公司规定的活动等），公司可以依据规章制度解除劳动合同。
其他法定解除情形：如员工在病假期间被依法追究刑事责任等，公司也有权解除劳动合同。
四、公司规章制度与劳动合同的重要性
除了法律法规的规定外，公司的规章制度和劳动合同中的相关条款也是判断员工是否会被开除的重要依据。有些公司可能会在劳动合同中明确规定，员工在一定时间内累计请病假超过一定天数，公司有权解除劳动合同。因此，劳动者在入职时应仔细阅读劳动合同和公司规章制度，了解自己的权利和义务。同时，用人单位在制定规章制度时也应确保其内容合法、合理，并符合相关法律法规的规定。
五、违法解除劳动合同的赔偿责任
如果公司违法解除处于病假期间员工的劳动合同，员工有权要求公司支付赔偿金。赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
建议：作为劳动者，在请病假时应遵守公司的规定和法律法规的要求，提供真实的医疗证明；而作为用人单位，也应尊重员工的病假权利，不得无故开除请病假的员工。如果双方在这方面存在争议，建议通过协商或法律途径来解决。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。