结论：员工申请延迟退休且单位同意后，一般情况下双方仍构成劳动关系，而非劳务关系。但具体还需结合实际情况判断。

分析说明：

1. 劳动关系的认定：

   • 劳动关系是指用人单位与劳动者之间，依法所确立的劳动过程中的权利义务关系。它通常基于劳动合同的签订而建立，并受到《劳动法》、《劳动合同法》等法律法规的调整。
   • 在员工申请延迟退休且单位同意的情况下，如果双方继续按照原劳动合同的约定履行权利义务，或者签订了新的劳动合同以延续劳动关系，那么双方仍然构成劳动关系。

2. 劳务关系的认定：

   • 劳务关系则是指提供劳务一方为接受劳务一方提供劳务服务，由接受劳务一方按照约定支付报酬而建立的一种民事权利义务关系。它通常不受《劳动法》、《劳动合同法》等专门调整劳动关系的法律法规的调整，而是受《民法典》等一般民事法律的调整。
   • 如果员工延迟退休后，与单位之间不再存在管理与被管理的关系，双方只是基于某种特定的劳务需求而建立的临时性、一次性的关系，且报酬支付方式、工作时间等均与原劳动关系有显著不同，那么双方可能构成劳务关系。但这种情况在员工延迟退休的场景中较为少见。

3. 实际情况的考量：

   • 在判断员工延迟退休后是劳动关系还是劳务关系时，还需要考虑双方的实际履行情况。例如，员工是否继续接受单位的管理和指挥，是否继续按照单位的规定工作时间和地点工作，单位是否继续按照原劳动合同或新的约定支付工资等。
   • 如果员工虽然延迟退休，但仍然按照原劳动合同的约定履行义务，且单位也继续按照原劳动合同或新的约定支付报酬和管理员工，那么双方仍然构成劳动关系。

法律建议：

• 对于员工而言，如果希望延迟退休后继续保持劳动关系，应与单位明确协商并签订新的劳动合同或补充协议，以明确双方的权利义务关系。
• 对于单位而言，如果同意员工延迟退休，也应与员工明确协商并签订相关协议，以避免后续可能出现的法律纠纷。同时，单位应继续按照法律法规的规定履行对员工的义务，如支付工资、缴纳社会保险等。

可能后果：

• 如果双方未明确协商并签订相关协议，导致后续对劳动关系或劳务关系的认定存在争议，可能会引发劳动仲裁或诉讼等法律纠纷。这不仅会耗费双方的时间和精力，还可能对单位的声誉和员工的权益造成不利影响。

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