结论：公司外派员工在下班时间发生脑出血疾病，公司是否承担责任需根据具体情况判断，主要看是否构成工伤以及公司是否存在过错。以下从不同角度进行分析：

一、是否构成工伤

1. 工伤认定标准：

   • 根据《工伤保险条例》第十五条，职工在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的，视同工伤。但此条款强调的是“工作时间”和“工作岗位”，且疾病需导致死亡或48小时内死亡。
   • 对于下班时间发生的脑出血，若不符合上述“工作时间”和“工作岗位”的严格条件，且未导致死亡或48小时内死亡，则一般不直接认定为工伤。

2. 特殊情况考虑：

   • 如果员工在下班后，因工作原因（如加班后回家途中、因工作需要处理紧急事务等）突发脑出血，且能证明与工作有直接关联，可能有机会争取认定为工伤。但这需要具体证据支持，如加班记录、紧急事务处理记录等。

二、公司是否存在过错

1. 公司责任基础：

   • 即使不构成工伤，如果公司存在过错（如未提供安全的工作环境、未合理安排工作时间导致员工过度劳累等），且该过错与员工突发脑出血之间存在因果关系，公司仍可能需承担一定的民事赔偿责任。

2. 过错认定：

   • 过错的认定需要具体证据支持，如工作环境的检测报告、员工的工作时间记录、医疗证明等。
   • 例如，如果员工长期加班，且公司未提供必要的休息和健康保障措施，导致员工因过度劳累而突发脑出血，公司可能需承担相应责任。

三、建议与行动

1. 收集证据：

   • 员工或家属应尽快收集相关证据，包括医疗记录、工作时间记录、加班记录、工作环境照片或视频等，以证明疾病与工作之间的关联或公司的过错。

2. 申请工伤认定：

   • 如果符合工伤认定条件，应尽快向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。

3. 协商或诉讼：

   • 如果不构成工伤或工伤认定未获批准，但认为公司存在过错，可以尝试与公司协商赔偿事宜。
   • 如果协商无果，可以向法院提起民事诉讼，要求公司承担相应的赔偿责任。

进一步思考：在处理此类案件时，关键在于证明疾病与工作之间的关联或公司的过错。因此，收集和保留相关证据至关重要。同时，由于每个案件的具体情况不同，建议员工或家属在发生此类事件后，尽快咨询专业律师，以便根据具体情况制定合适的维权策略。如果你有进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，可以直接向我咨询。