结论：针对您描述的情况，公司未与您签订第二次劳动合同且工作10个月后要辞退您，您有权要求公司支付未签劳动合同的双倍工资差额以及可能的违法解除劳动合同的赔偿金。

详细分析：

1. 未签劳动合同的双倍工资差额：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
   • 应用情况：您第一次签订了一年合同，第二次未签合同但已经工作了10个月。根据法律规定，公司应从第二个月起至第十个月（共9个月）向您支付双倍工资差额。即，除了您已经获得的正常工资外，公司还应额外支付9个月的工资作为赔偿。

2. 违法解除劳动合同的赔偿金：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。”以及第八十七条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。”
   • 应用情况：若公司无法证明其辞退您的行为是合法的（如您存在严重违反公司规章制度、严重失职等情形），则公司的辞退行为可能构成违法解除劳动合同。在此情况下，您有权要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍。经济补偿标准根据您在公司的工作年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。由于您已经工作了一年多（第一次合同一年加上第二次未签合同的10个月），因此经济补偿标准至少为1.5个月工资，赔偿金则至少为3个月工资。但具体数额还需根据您的实际工资水平和工作年限进一步计算。

建议行动：

• 收集证据：首先，您需要收集与公司在职期间的所有相关证据，包括但不限于劳动合同（第一次的）、工资条、工作证、考勤记录、同事证言等，以证明您与公司之间的劳动关系以及您的工资水平和工作年限。
• 协商解决：在收集到足够证据后，您可以尝试与公司进行协商，要求公司支付未签劳动合同的双倍工资差额以及违法解除劳动合同的赔偿金。
• 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，提交您的证据和仲裁请求，由劳动仲裁委员会进行裁决。
• 提起诉讼：如果您对劳动仲裁委员会的裁决结果不满意，还可以在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。

注意事项：

• 在整个过程中，请务必保持冷静和理性，避免采取过激行为影响自己的权益。
• 如有需要，您可以随时向我咨询具体的法律问题或寻求法律帮助。我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和指导。