结论：您在没有签订劳动合同的情况下工作10个月后被辞退，根据相关法律规定，您有权要求用人单位支付未签订劳动合同的双倍工资差额，并可能获得经济补偿金。同时，您还可以要求用人单位补缴社会保险费。

详细分析：

1. 未签订劳动合同的双倍工资差额：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 计算方式：假设您每月的工资为X元，那么您有权要求用人单位支付9个月（因为第一个月不计算在内）的双倍工资差额，即9X元。
   • 示例：如果您每月工资为5000元，那么您有权要求用人单位支付45000元的双倍工资差额。

2. 经济补偿金：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条和第四十七条的规定，用人单位因非劳动者原因解除劳动合同的，应当向劳动者支付经济补偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
   • 计算方式：由于您工作了10个月，所以您有权要求用人单位支付1个月工资作为经济补偿金。
   • 示例：如果您每月工资为5000元，那么您有权要求用人单位支付5000元的经济补偿金。

3. 补缴社会保险费：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国社会保险法》的规定，用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。未办理社会保险登记的，由社会保险经办机构核定其应当缴纳的社会保险费。
   • 建议：您可以要求用人单位为您补缴工作期间的社会保险费，包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险。

后续行动建议：

• 收集证据：为了维护自己的合法权益，您需要收集相关证据，如工资条、工作证、考勤记录等，以证明您与用人单位之间存在事实劳动关系。
• 协商解决：首先尝试与用人单位协商解决，要求用人单位支付双倍工资差额、经济补偿金并补缴社会保险费。
• 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求用人单位承担相应的法律责任。
• 提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不满意，您还可以向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。

注意事项：

• 在整个过程中，请保持冷静和理性，避免与用人单位发生不必要的冲突。
• 如有需要，您可以咨询我，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。