结论：在此工伤纠纷中，尽管客户母亲未与雇主签订劳动合同，但根据相关法律规定，她仍有可能获得工伤赔偿。具体应向谁追赔，需根据实际情况判断是向雇主个人追赔还是向可能存在的家政公司追赔。

详细分析：

1. 劳动关系认定：

   • 尽管客户母亲未与雇主签订书面劳动合同，但根据《劳动合同法》及相关规定，只要存在事实劳动关系（即实际提供了劳动并接受了雇主的管理和支付报酬），就应被认定为劳动关系。在此情况下，客户母亲与雇主之间构成事实劳动关系。

2. 工伤认定：

   • 客户母亲在雇主家受伤，且伤势为手部骨折，这符合工伤的一般定义（即在工作时间和工作场所内，因工作原因受到的事故伤害）。因此，她有权申请工伤认定。

3. 赔偿义务主体：

   • 若雇主为个人：在此情况下，雇主作为个人应承担工伤赔偿责任。客户母亲可以向雇主提出赔偿要求，包括医疗费、误工费、护理费等。
   • 若雇主通过家政公司派遣：如果客户母亲是通过家政公司被派遣到雇主家的，那么家政公司作为用人单位，应承担工伤赔偿责任。客户母亲可以向家政公司提出赔偿要求。

4. 赔偿流程与注意事项：

   • 工伤认定申请：首先，需要向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请，提交相关证据材料，如医疗证明、工作证明等。
   • 劳动能力鉴定：在工伤认定后，如果伤势影响劳动能力，还需要进行劳动能力鉴定，以确定赔偿的具体数额。
   • 协商与诉讼：在获得工伤认定和劳动能力鉴定结果后，可以与赔偿义务主体进行协商，达成赔偿协议。如果协商不成，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或直接向人民法院提起诉讼。

5. 建议与行动：

   • 收集证据：客户母亲应尽快收集与工作相关的证据材料，如工作证、工资单、工作照片等，以证明与雇主之间存在事实劳动关系。
   • 咨询专业律师：由于工伤纠纷涉及法律程序较多，建议客户母亲咨询专业律师，以获取更详细的法律指导和帮助。
   • 及时申请工伤认定：工伤认定是获得赔偿的前提，客户母亲应尽快向当地社会保险行政部门提出申请。

后续思考：

• 在处理此类工伤纠纷时，关键在于证明事实劳动关系的存在和工伤的发生。因此，收集和保存相关证据材料至关重要。
• 如果雇主或家政公司拒绝承担赔偿责任，客户母亲可以通过法律途径维护自己的合法权益。在此过程中，专业律师的协助将起到关键作用。

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