家政服务人员在客户家工作期间手指骨折，赔偿问题需根据具体情况分情况处理，核心结论如下：

1. 若家政公司、家政人员与客户之间为劳动关系
   根据《工伤保险条例》，家政人员因工作受伤应认定为工伤，赔偿主体为家政公司（或实际用人单位）。具体流程为：

   • 家政公司需在30日内向社保部门申请工伤认定；
     
   • 赔偿范围包括医疗费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等（需根据伤残等级鉴定结果确定）；
     
   • 若家政公司未缴纳工伤保险，则由公司承担全部赔偿费用。
     

2. 若家政公司、家政人员与客户之间为劳务关系（如临时用工、个人承接）
   根据《民法典》第1192条，提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方过错承担责任：

   • 客户无过错时：若家政人员因自身操作不当（如未使用安全工具）导致受伤，可能需自行承担主要责任；
     
   • 客户有过错时：若客户未提供安全工作环境（如地面湿滑未警示、工具存在缺陷），需承担相应赔偿责任；
     
   • 家政公司有过错时：若家政公司未尽到安全培训、管理义务（如未提供防护设备、未提示风险），可能需承担补充责任。
     

3. 若家政公司通过平台派单（如互联网家政平台）
   需区分平台角色：

   • 仅提供信息撮合服务：平台通常不承担赔偿责任，责任由家政公司或客户根据上述关系承担；
     
   • 实际参与管理（如培训、薪资发放）：平台可能被认定为用人单位，需承担工伤赔偿责任。
     

行动建议：

1. 立即保存证据：现场照片、医疗记录、派单合同、沟通记录等；
   
2. 优先申请工伤认定（若符合劳动关系）；
   
3. 若为劳务关系，可协商赔偿或通过诉讼解决，需明确各方过错比例；
   
4. 建议家政公司完善保险机制（如为员工购买雇主责任险或意外险），降低风险。
   

如有进一步细节（如合同类型、受伤原因等），可向我补充说明，我会为您细化分析。