结论：在您描述的情况下，即已在工厂连续工作十四年，且已经签订了四次固定期限劳动合同，再次续签时申请无固定期限劳动合同，一般情况下是会得到认可的，但具体还需根据实际情况及当地劳动法规来综合判断。
法律背景与解释：
无固定期限劳动合同的签订条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在用人单位连续工作满十年的，或者连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 在您的情况下，已在工厂连续工作十四年，且已经签订了四次固定期限劳动合同，这明显满足了“连续工作满十年”以及“连续订立二次固定期限劳动合同”的条件，因此，在续签时，您有权提出签订无固定期限劳动合同。
用人单位的义务与责任：
- 用人单位在劳动者满足签订无固定期限劳动合同条件时，应当与劳动者签订无固定期限劳动合同，除非劳动者主动提出签订固定期限劳动合同。
- 如果用人单位拒绝签订无固定期限劳动合同，而劳动者又符合签订条件的，用人单位可能需要承担支付双倍工资等法律责任。
实际操作中的注意事项：
- 在提出签订无固定期限劳动合同时，建议您保留好相关证据，如工作年限证明、劳动合同等，以证明您满足签订条件。
- 如果用人单位拒绝签订，您可以先与用人单位协商，协商不成的，可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
法律建议：
- 在续签劳动合同时，明确向用人单位提出签订无固定期限劳动合同的要求，并保留好相关证据。
- 如果用人单位拒绝或未予回应，及时咨询专业律师（即我本人，严长俊律师，专注于刑事辩护、婚姻家庭、劳动纠纷领域），了解具体的维权途径和策略。
- 在维权过程中，保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益，避免采取过激行为。
可能的法律后果：
- 如果用人单位同意签订无固定期限劳动合同，则双方继续履行劳动合同，您享有无固定期限劳动合同的相关权益。
- 如果用人单位拒绝签订且未给予合理理由，您可能有权要求用人单位支付双倍工资等法律责任，并可以通过法律途径维护自己的权益。