结论前置：十三年工龄的员工并非绝对不能被辞退，但辞退必须依法依规进行，并可能涉及经济补偿或赔偿金。具体辞退情形需根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定来判断。
一、辞退的合法性分析
协商一致辞退：
- 根据《劳动合同法》第三十六条，用人单位与劳动者协商一致，可以解除劳动合同。这意味着，即使员工工龄超过十三年，只要双方达成一致意见，并且用人单位按照法律规定支付相应的经济补偿，辞退就是合法的。例如，员工可能因个人原因希望提前退休或转行，与用人单位协商一致后解除劳动合同。
劳动者存在过错被辞退：
- 依据《劳动合同法》第三十九条，若劳动者严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害等，无论工龄长短，用人单位都有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿。例如，某员工多次旷工，严重违反单位考勤制度，单位可依法辞退该员工，即使该员工已有十三年工龄。
无过错性辞退：
- 若员工不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任，根据《劳动合同法》第四十条，用人单位可提前三十日以书面形式通知劳动者本人或额外支付一个月工资后解除劳动合同，但需支付经济补偿。这种情况下，十三年工龄的员工同样可能被辞退，但用人单位需承担相应的经济补偿责任。
经济性裁员：
- 用人单位在符合法定条件的情况下，如经营发生严重困难，可进行经济性裁员。此时，即便员工有十三年以上工龄，也可能被裁减，但用人单位需支付经济补偿。经济性裁员需遵循严格的程序，包括提前向工会或全体职工说明情况、听取意见、向劳动行政部门报告等。
二、特定情形下的特殊保护
- 若员工在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年，用人单位不得依据《劳动合同法》第四十条（无过错性辞退）或第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。这是对老员工的一种特殊保护。虽然您的情况是十三年工龄，未达到十五年，但这一规定体现了法律对长期服务员工的倾向性保护，也提示用人单位在辞退老员工时需更加谨慎。
三、经济补偿与赔偿金
经济补偿标准：
- 根据《劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。对于十三年工龄的员工，经济补偿通常为十三个月工资。
- 若劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
赔偿金：
- 若用人单位违法解除劳动合同，需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。对于十三年工龄的员工，若被违法辞退且不要求继续履行劳动合同或劳动合同已无法继续履行，则赔偿金通常为二十六个月工资。
四、员工的维权途径
- 若员工认为自身被违法辞退，可通过以下途径维护合法权益：
- 首先尝试与用人单位协商解决；
- 协商不成时，可向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁；
- 对仲裁结果不服的，还可向人民法院提起诉讼。
总结与建议：十三年工龄的员工在劳动关系中享有一定的法律保护，但并非绝对不能被辞退。用人单位在辞退此类员工时，必须严格遵守法律规定，确保合法合规。同时，员工也应了解自身权益，必要时采取合法手段维护自身利益。如果您或您身边的人遇到类似问题，欢迎直接向我咨询，我将根据具体情况提供详细的法律建议。