结论：合同制医生在连签三次合同，每次三年的情况下，在满足一定条件时，可以要求签订无固定期限劳动合同。
法律规定与条件分析
基本法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，无固定期限劳动合同是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。当劳动者在该用人单位连续工作满十年，或连续订立二次固定期限劳动合同且劳动者没有特定过失性辞退情形时，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
具体条件：
- 连续订立二次固定期限劳动合同：您已经与用人单位连续签订了两次固定期限的劳动合同，这是满足签订无固定期限劳动合同的基本前提之一。
- 劳动者无过失性辞退情形：您不存在《劳动合同法》第三十九条规定的严重违反用人单位规章制度等过失性辞退情形，以及第四十条第一项（因病或非因工负伤不能胜任工作）和第二项（不能胜任工作且经培训或调整岗位后仍不能胜任）规定的情形。
- 劳动者提出或无反对意见：在续签劳动合同时，您需要提出续订劳动合同或者同意续订劳动合同，并且没有主动提出要订立固定期限劳动合同。
特殊情况与协商原则
双方协商一致：
- 尽管法律规定了签订无固定期限劳动合同的条件，但双方仍可在协商一致的基础上选择签订固定期限劳动合同。如果您在续签时明确提出要订立固定期限劳动合同，或者双方协商一致约定了具体的合同期限，那么也可以签订固定期限劳动合同。
用人单位的责任：
- 如果用人单位在符合上述条件的情况下拒绝与您签订无固定期限劳动合同，可能面临支付双倍工资等法律责任。这是为了保护劳动者的合法权益，确保用人单位遵守相关法律法规。
实践建议与风险提示
了解自身权益：
- 作为劳动者，您应了解自己的合法权益，特别是在连续签订两次固定期限劳动合同后，有权要求签订无固定期限劳动合同以保障就业稳定。这是法律赋予您的权利，您应积极行使。
审查合同条款：
- 在续签劳动合同时，无论签订固定期限还是无固定期限劳动合同，您都应仔细审查合同条款，确保内容合法、合理。特别是关于工作内容、工作地点、工作时间、劳动报酬等关键条款，应明确无误，以避免后续可能出现的劳动纠纷。
保留相关证据：
- 在与用人单位协商续签劳动合同时，建议您保留好相关证据，如劳动合同、续签意向书、沟通记录等。这些证据在后续可能出现的劳动纠纷中将成为重要的法律依据。
及时咨询专业律师：
- 如果您在续签劳动合同过程中遇到任何问题或困惑，建议及时咨询专业律师。作为专注于刑事辩护、合同纠纷领域的律师，我可以为您提供专业的法律意见和帮助，确保您的合法权益得到充分保障。
综上所述，合同制医生在连签三次合同，每次三年的情况下，在满足一定条件时可以要求签订无固定期限劳动合同。但具体是否签订还需根据双方的协商情况和法律规定来确定。在实际操作中，建议您充分了解自身权益，仔细审查合同条款，并保留好相关证据。如有任何问题或困惑，请随时向我咨询。