结论：即使没有签订劳动合同，在私人老板家打工时大拇指底部骨折，您依然有权要求老板进行赔偿。

详细分析：

1. 劳动关系认定：

   • 根据《劳动合同法》及相关规定，即使未签订书面劳动合同，只要存在事实劳动关系，劳动者就享有相应的劳动权益。在您的情况下，为私人老板提供劳务并因此受伤，这构成了事实劳动关系的一部分。
   • 事实劳动关系的认定通常基于劳动者是否实际为用人单位提供了劳动，以及用人单位是否接受了这种劳动并支付了报酬。在您的情况下，这些条件似乎都得到了满足。

2. 工伤认定与赔偿：

   • 一旦确认存在事实劳动关系，您就有权申请工伤认定。根据《工伤保险条例》，工伤认定是享受工伤保险待遇的前提。
   • 工伤认定后，您将有权获得相应的工伤赔偿，包括医疗费、停工留薪期工资、护理费、一次性伤残补助金等。具体赔偿项目和标准将依据您的伤残等级和当地的相关规定来确定。

3. 未签订劳动合同的影响：

   • 未签订劳动合同并不影响您作为劳动者的权益。实际上，根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 这意味着，除了工伤赔偿外，您还有权要求老板支付因未签订劳动合同而产生的双倍工资差额（但需注意，这一请求可能受到诉讼时效的限制，建议尽快主张）。

4. 维权途径：

   • 首先，尝试与老板协商解决赔偿问题。如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
   • 在劳动仲裁过程中，您需要提供证据证明存在事实劳动关系以及受伤的事实。这可能包括工资支付记录、工作证、同事证言、医疗记录等。
   • 如果对劳动仲裁结果不满意，您还可以向法院提起诉讼。

建议：

• 尽快收集并保存所有与工作相关的证据，包括工资支付记录、工作证、同事证言、医疗记录等，以备不时之需。
• 尽快与老板沟通，明确表达您的赔偿要求，并尝试通过协商解决问题。
• 如果协商无果，及时向当地的劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。

后续行动：

• 在处理此类纠纷时，保持冷静和理性至关重要。确保所有行动都在法律框架内进行，以避免不必要的法律风险。
• 如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，随时向我咨询。我将根据您的具体情况提供更详细的法律建议和指导。