结论：公办园未签订无固定期限劳动合同是否违法，需根据具体情况判断，但在符合签订无固定期限劳动合同条件而未签订的情况下，公办园的行为通常构成违法。
一、无固定期限劳动合同的签订条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，无固定期限劳动合同的签订条件主要包括以下几种情况：
劳动者在用人单位连续工作满十年：如果劳动者在公办园连续工作满十年，且提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年：这一条款主要针对的是特定历史背景下的国有企业改制或初次实行劳动合同制度的情况，对于公办园而言，如果符合这一条件，也应当签订无固定期限劳动合同。
连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的：如果劳动者与公办园已经连续订立了两次固定期限劳动合同，且劳动者没有严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等情形，那么在续订劳动合同时，应当签订无固定期限劳动合同。
二、公办园未签订无固定期限劳动合同的法律后果
如果公办园在符合上述签订无固定期限劳动合同条件的情况下，未与劳动者签订无固定期限劳动合同，那么根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公办园可能需要承担以下法律后果：
自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资：这是对于用人单位未依法签订无固定期限劳动合同的一种惩罚性赔偿，旨在督促用人单位依法履行签订劳动合同的义务。
面临劳动行政部门的处罚：劳动行政部门有权对用人单位的违法行为进行查处，并可能给予相应的行政处罚。
三、特殊情况说明
当然，也存在一些特殊情况，比如劳动者主动提出签订固定期限劳动合同，或者双方协商一致不签订无固定期限劳动合同等。在这些情况下，公办园未签订无固定期限劳动合同并不构成违法。但需要注意的是，这些特殊情况必须基于劳动者的真实意愿和双方的平等协商，不能存在欺诈、胁迫等情形。
四、建议与行动
核实签订条件：首先，劳动者需要核实自己是否符合签订无固定期限劳动合同的条件。
与用人单位沟通：如果符合条件但未签订无固定期限劳动合同，劳动者可以与公办园进行沟通，要求签订无固定期限劳动合同或寻求相应的赔偿。
寻求法律援助：如果沟通无果，劳动者可以寻求法律援助或向劳动仲裁机构申请仲裁，以维护自己的合法权益。
作为专业律师，我建议劳动者在遇到类似问题时，及时咨询专业律师或相关机构，以便更准确地了解自己的权益和维权途径。如果你有任何关于经济纠纷、合同纠纷或劳动工伤方面的法律问题，都可以直接向我咨询。