公立幼儿园不签劳动合同是违法的，且需承担相应的法律责任。以下从多个角度为你详细分析：
一、法律依据与违法性
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。公立幼儿园作为用人单位，在招用员工后，必须遵守这一法律规定，与员工签订书面劳动合同。若未签订，则构成违法行为。
二、法律后果与责任承担
支付双倍工资：
- 如果公立幼儿园自用工之日起超过一个月但不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，它应当向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。
- 计算公式：双倍工资差额 = 月工资 × 未签订劳动合同的月数（最多11个月）。例如，若月工资为5000元，未签订劳动合同的月数为6个月，则双倍工资差额为5000元 × 6个月 = 30000元。
视为无固定期限劳动合同：
- 如果公立幼儿园自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，根据法律规定，将视为幼儿园与劳动者已订立了无固定期限的劳动合同。这意味着幼儿园将承担更长期的雇佣责任，且无法随意解除劳动合同。
面临劳动监察部门的处罚：
- 公立幼儿园的违法行为还可能面临劳动监察部门的责令改正和处罚，包括罚款等措施，这将对幼儿园的信誉和经营产生不良影响。
三、劳动者维权途径
协商：
- 劳动者首先可以尝试与公立幼儿园管理层进行沟通，说明法律规定，要求其尽快签订劳动合同。这是最直接、最快捷的解决方式。
投诉：
- 如果协商无果，劳动者可以向当地的劳动监察大队进行投诉。劳动监察部门有权对公立幼儿园的违法行为进行调查，并责令其改正，同时还可以给予相应的处罚。
仲裁：
- 若劳动监察部门的处理效果不佳，或者劳动者希望直接通过法律途径解决争议，可以收集相关证据（如工资发放记录、工作证、考勤记录等能证明劳动关系存在的材料），向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在仲裁过程中，劳动者可以要求公立幼儿园支付未签订劳动合同期间的双倍工资等合法权益。
四、建议与提醒
- 公立幼儿园：应严格遵守法律规定，及时与劳动者签订书面劳动合同，以确保劳动关系的合法性和稳定性。这不仅是法律要求，也是维护幼儿园自身权益和信誉的重要举措。
- 劳动者：应了解自己的权益和维权途径，在必要时采取合适的行动来保护自己的合法权益。如果遇到公立幼儿园不签劳动合同的情况，不要害怕，要勇敢站出来维护自己的权益。
综上所述，公立幼儿园不签劳动合同是违法的，不仅损害了劳动者的合法权益，也可能给幼儿园自身带来不必要的法律纠纷和经济损失。因此，建议双方都应遵守法律规定，共同维护和谐稳定的劳动关系。如果你还有其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。