结论：员工合同到期生病时，公司能否不续签合同需分情况讨论。若员工处于法定医疗期内，公司不得拒绝续签，必须将劳动合同续延至医疗期结束；若医疗期已结束，公司可根据自身情况选择是否续签，但需遵守经济补偿等法律规定。
一、劳动合同期满时员工处于法定医疗期内
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第三项规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得解除劳动合同。
- 同时，该法第四十五条规定，劳动合同期满，若存在第四十二条规定的情形（包括医疗期内），劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。
具体解释与应用：
- 若员工在劳动合同期满时仍处于法定医疗期内，公司不得因医疗期满而拒绝续签合同。例如，员工小张在合同期满时医疗期还剩2个月，则公司应顺延合同至医疗期结束。
- 在此期间，员工享有病假工资或疾病救济费，且该费用不得低于最低工资标准的80%。
二、劳动合同期满时员工医疗期已结束
- 公司选择权与经济补偿：
- 医疗期结束后，公司可根据自身经营情况和员工状况决定是否续签合同。
- 若公司决定不续签，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条第五项规定，除特定情形外（如用人单位维持或提高条件而劳动者不同意续订），公司应向员工支付经济补偿。补偿标准按员工在本单位工作年限计算，每满一年支付一个月工资。
计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）
- 特殊注意事项：
- 若员工因病不能工作，或经培训、调整岗位后仍不能胜任，公司虽可解除合同，但需提前通知并支付经济补偿。
- 合同中的特别约定可能影响公司的选择权和补偿责任，因此需仔细审查合同条款。
三、特殊情况：员工患职业病或因工负伤
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第二项规定，员工患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。
- 同时，《工伤保险条例》等相关法律法规也对此类员工的权益保护作出了明确规定。
具体处理：
- 对于此类员工，即使劳动合同期满，公司也不能拒绝续签。而应根据员工的伤残情况，为其安排适当的工作或支付相应的工伤待遇。
四、建议与行动步骤
对于公司：
- 准确判断员工医疗期，避免违法解除劳动合同风险。
- 合同到期前与员工沟通，了解病情和康复情况，协商后续事宜。
- 决定不续签时，按规定办理手续，如提前通知、支付经济补偿，并保留书面材料。
对于员工：
- 清楚自身在生病期间的权益，特别是医疗期和劳动合同续签规定。
- 及时向公司提供病历、诊断证明等相关材料。
- 优先与公司协商；协商不成时，可申请劳动争议仲裁或提起诉讼。
处理步骤：
- 协商阶段：尝试与公司协商，要求延续劳动合同至医疗期满。
- 证据收集：若协商无果，收集病历、诊断证明等证据。
- 申请仲裁：向劳动仲裁机构递交申请，要求公司履行劳动合同或支付赔偿金。
综上所述，员工在生病期间合同到期时，公司应依法处理，确保决策合法合规。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。