结论：员工合同到期因生病公司不给续签合同但员工仍在上班的情况，需分阶段分析公司的行为是否合法，并据此确定员工的应对策略。具体来说：
医疗期内公司不续签合同不合法
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条和第四十五条的规定，劳动者在医疗期内，用人单位不得解除劳动合同，且劳动合同应延续至医疗期满。若公司在医疗期内终止合同或拒绝续签，可能构成违法解除。
- 员工应对：员工应首先确认自己的医疗期是否已结束，并保留好病假证明、诊断记录等材料作为证据。若医疗期未满，员工可向公司明确指出其违法行为，并要求公司继续履行劳动合同或支付违法解除的赔偿金。
医疗期届满后公司的处理需分情况
- 员工能正常工作：若医疗期届满后，员工经鉴定能够正常工作，而公司不续签合同，则属于违法行为。员工有权要求公司支付经济补偿，并可考虑通过法律途径维护自身权益。
- 员工不能正常工作：若医疗期届满后，员工仍不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条的规定，公司可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同。但即便如此，公司仍需支付经济补偿。
员工具体应对措施：
- 了解并确认医疗期：员工应明确自己的医疗期时长，这通常根据员工的工作年限和在本单位工作年限确定。医疗期的具体期限可参照《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》。
- 收集证据：员工应妥善保存劳动合同、工资条、诊断证明、病假条等相关证据，以备后续维权之需。这些证据将有助于证明员工的医疗期状态、与公司之间的劳动关系以及公司的违法行为。
- 与公司沟通协商：员工应尝试与公司进行沟通，说明法律规定，要求公司按照法律规定处理劳动合同事宜。沟通过程可通过书面形式进行，并保留好相关沟通记录，如邮件、短信等。
- 向劳动监察部门投诉：若公司拒绝协商或违反法律规定，员工可向当地的劳动监察部门投诉，请求其对公司进行调查和处理。劳动监察部门将依法对公司的违法行为进行查处，并保护员工的合法权益。
- 申请劳动仲裁或提起诉讼：在必要时，员工可携带相关证据向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或向人民法院提起诉讼。通过法律途径维护自身合法权益时，员工有权要求公司支付违法终止劳动合同的赔偿金，并要求延续劳动合同至医疗期结束（如适用），或支付相应的经济补偿。
经济补偿的计算：
- 若公司违法解除劳动合同，员工有权要求公司支付双倍经济补偿金作为赔偿金。经济补偿金的计算基数为员工在公司工作的年限乘以员工离职前十二个月的平均工资。
- 若公司依法解除劳动合同（如医疗期届满后员工不能正常工作），公司需支付经济补偿金。经济补偿金的计算方式同样为员工在公司工作的年限乘以员工离职前十二个月的平均工资，但无需双倍支付。
总结与建议：
员工在患病期间应充分了解自己的法律权益，并采取适当措施保护自身合法权益。面对公司不续签合同的情况，员工应首先确认自己的医疗期状态，并收集好相关证据。然后，尝试与公司进行沟通协商，要求公司按照法律规定处理劳动合同事宜。若协商未果，员工可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁、提起诉讼。在整个过程中，员工应保持冷静和理性，依法维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。