当您在生病期间遇到劳动合同到期而单位不续签的情况时，您完全有权利依据相关法律法规来维护自己的合法权益。以下是我为您详细梳理的处理方式和法律依据：
一、处理方式
与用人单位协商：
- 首先，建议您主动与用人单位进行沟通，了解他们不续签的具体原因。
- 在沟通过程中，您可以明确表达自己希望继续履行劳动合同的意愿，并探讨是否有可能签订新的劳动合同或续订原合同。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 在申请仲裁时，您需要准备充分的证据，如医疗证明（证明您在生病期间）、劳动合同（证明合同已到期）、工资单等，以支持您的诉求。
- 您的诉求可以包括要求用人单位支付经济补偿金等相应赔偿，因为根据法律规定，在您生病且医疗期未满的情况下，用人单位单方面不续签合同是违法的。
提起诉讼：
- 如果对仲裁结果不满意，您还可以向人民法院提起诉讼，通过司法途径来维护自己的权益。
二、法律依据
《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条：
- 该条款规定，劳动者在患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这意味着，在您生病且医疗期未满的情况下，用人单位不能单方面终止或拒绝续签您的劳动合同。
《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条和第四十五条：
- 第四十四条规定了劳动合同终止的情形，包括劳动合同期满。但第四十五条紧接着说明，如果劳动合同期满时，劳动者处于本法第四十二条规定的情形之一（如生病在医疗期内），劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。因此，您的劳动合同应当顺延至医疗期结束。
经济补偿标准：
- 如果用人单位违法不续签合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条，他们应当向您支付经济补偿。经济补偿的标准是按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。
三、建议与注意事项
- 保留证据：在整个过程中，请务必保留好所有与用人单位沟通的记录、医疗证明、劳动合同等相关证据，以备不时之需。
- 及时沟通：与用人单位保持开放和及时的沟通，有助于双方更好地理解彼此的需求和立场，从而找到更合理的解决方案。
- 寻求法律帮助：如果您对法律条款或处理流程不熟悉，建议寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保障。
综上所述，您在生病期间遇到劳动合同到期而单位不续签的情况时，完全有权利依据相关法律法规来维护自己的合法权益。希望以上信息能对您有所帮助。