针对您提出的问题“员工因自身原因生病，原单位合同到期，新单位不给续签”，以下是我的详细解答：

首先，我们需要明确的是，员工在生病期间，其劳动合同到期并不意味着单位可以直接终止合同。根据相关法律法规，员工患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，单位不得解除劳动合同。医疗期是根据员工的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定的，最长可达24个月。

现在，我们分两种情况来讨论：

1. 员工在原单位合同期内生病，且医疗期未满：

   • 在这种情况下，如果原单位不续签合同，这是违法的。员工有权要求原单位继续履行合同，或者要求原单位给予经济补偿。经济补偿的计算标准是按照员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的经济补偿。
   • 如果原单位拒绝履行义务，员工可以先尝试与原单位进行协商。协商无果后，员工可以搜集病历、诊断证明等相关证据，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求原单位继续履行合同或给付违法终止合同的赔偿金（赔偿金为经济补偿金的两倍）。

2. 员工在原单位合同到期后生病，且新单位不愿续签：

   • 对于这种情况，由于员工是在合同到期后生病的，新单位没有法律义务必须续签合同。但是，新单位在决定不续签时，应当考虑到员工的实际情况，并尽量进行妥善安排。
   • 如果新单位明确拒绝续签，员工可以尝试与新单位进行协商，争取一些合理的补偿或者安排。协商不成时，员工可以根据自身情况考虑是否向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，但需要注意的是，由于员工是在合同到期后生病的，所以申请仲裁的理由和依据可能会相对较弱。

综上所述，员工在生病期间合同到期的问题需要根据具体情况来处理。如果员工在合同期内生病且医疗期未满，原单位不续签合同是违法的，员工有权要求继续履行合同或获得经济补偿。如果员工在合同到期后生病，新单位不愿续签，则员工需要尝试与新单位进行协商，并考虑自身的法律权益和可能的仲裁途径。在任何情况下，员工都应该保留好相关证据，以便在需要时维护自己的合法权益。