结论前置：员工生病期间，公司能否续签协议需根据具体情况判断。若员工处于法定医疗期内，公司不得拒绝续签；若医疗期已结束，公司可根据自身情况及员工状况决定是否续签，但需遵守相关法律规定。
一、员工处于法定医疗期内
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第三项规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得解除劳动合同。
- 同时，根据第四十五条，劳动合同期满，若存在第四十二条规定的情形（包括医疗期内），劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。
具体解释与应用：
- 若员工在劳动合同期满时仍处于法定医疗期内，公司不得因医疗期满而拒绝续签合同，必须将劳动合同续延至员工医疗期结束。例如，员工小张在合同期满时医疗期还剩2个月，则公司应顺延合同至医疗期结束。
- 医疗期时长：医疗期的具体时长根据员工的工作年限和在本单位的工作年限确定，一般为3个月到24个月不等。员工应明确自己的医疗期时长，以便在必要时维护自身权益。
二、员工医疗期已结束
公司选择权与经济补偿：
- 医疗期结束后，公司可根据自身经营情况和员工状况决定是否续签合同。
- 若公司决定不续签，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条第五项规定，除特定情形外（如用人单位维持或提高条件而劳动者不同意续订），公司应向员工支付经济补偿。补偿标准按员工在本单位工作年限计算，每满一年支付一个月工资。例如，员工小李在公司工作了5年，月工资为5000元，若公司决定不续签合同，则需向小李支付5个月工资，即25000元作为经济补偿。
特殊注意事项：
- 若员工因病不能从事原工作，或经培训、调整岗位后仍不能胜任，公司虽可解除合同，但需提前通知并支付经济补偿。
- 合同中的特别约定可能影响公司的选择权和补偿责任，因此需仔细审查合同条款。例如，若合同中约定了医疗期结束后公司必须续签的条款，则公司需遵守该约定。
三、员工患职业病或因工负伤
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第二项规定，员工患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。
- 同时，《工伤保险条例》等相关法律法规也对此类员工的权益保护作出了明确规定。
具体处理：
- 对于此类员工，即使劳动合同期满，公司也不能拒绝续签。而应根据员工的伤残情况，为其安排适当的工作或支付相应的工伤待遇。例如，员工小王因工负伤被鉴定为部分丧失劳动能力，公司应为其安排适合的工作岗位或支付相应的工伤赔偿。
四、员工应对措施与建议
- 了解并确认医疗期：员工应明确自己的医疗期时长，以便在必要时维护自身权益。
- 收集证据：妥善保存劳动合同、工资条、诊断证明、病假条等相关证据，以备后续维权之需。
- 与公司沟通协商：尝试与公司进行沟通，说明法律规定，要求公司按照法律规定处理劳动合同事宜。沟通过程可通过书面形式进行，并保留好相关沟通记录。
- 寻求法律援助：若公司拒绝协商或违反法律规定，员工可向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议和帮助。
综上所述，员工生病期间公司能否续签协议需根据具体情况判断。在医疗期内，公司不得拒绝续签；医疗期结束后，公司可根据自身情况选择是否续签，但需遵守经济补偿等法律规定。对于患职业病或因工负伤的员工，公司更需严格遵守相关法律法规，保障其合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。