公司可以和员工签三次固定期限合同，但需注意在特定条件下，第三次续签时劳动者有权要求签订无固定期限劳动合同。以下是对此问题的详细分析：
一、法律未明确限制签订次数
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，并没有明确规定固定期限劳动合同的签订次数。这意味着，只要双方协商一致，公司可以与员工多次签订固定期限劳动合同，包括第三次。
二、连续签订两次后的特殊规定
然而，当公司与员工连续订立两次固定期限劳动合同后，情况就发生了一些变化。根据《劳动合同法》第十四条第二款第三项的规定，若满足以下条件，第三次续签时劳动者有权要求签订无固定期限劳动合同：
劳动者无特定排除情形：劳动者不存在《劳动合同法》第三十九条（如严重违反用人单位规章制度）和第四十条第一项、第二项（如劳动者不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位仍不能胜任）规定的情形。
劳动者提出续订或同意续订：在第二次固定期限劳动合同到期时，若劳动者有续订合同的意愿，并且未明确提出要订立固定期限劳动合同，那么公司应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。
连续订立二次固定期限劳动合同：劳动者与公司“连续”签订了两次固定期限劳动合同，且中间没有间断。例如，员工于2020年1月1日与公司签订了为期2年的合同，合同到期后，又在2022年1月1日续签了3年合同，这种情况即符合“连续订立二次固定期限劳动合同”。
三、实际操作中的注意事项
协商一致原则：在签订固定期限劳动合同时，必须遵循协商一致的原则。公司和员工应就合同期限、工作内容、劳动报酬等条款进行充分沟通并达成一致意见。
避免强制签订：公司不得强迫员工签订固定期限劳动合同，也不得通过设定不合理的条件来限制员工的选择权。
关注法律规定的变化：随着法律法规的不断完善和调整，关于固定期限劳动合同签订次数的规定也可能发生变化。因此，公司和员工在签订劳动合同时应密切关注相关法律法规的最新动态。
四、法律后果
若公司未按规定与劳动者订立无固定期限劳动合同，则需自应订立之日起向劳动者每月支付二倍工资作为赔偿。这一规定旨在保护劳动者的合法权益，确保劳动合同的公平性和合法性。
举例说明：假设员工小张与公司已经连续签订了两次固定期限劳动合同，且小张在合同期间表现良好，没有出现违反公司规章制度或不能胜任工作等情形。在第二次合同到期时，小张表达了续订合同的意愿，并且未明确提出要订立固定期限劳动合同。那么，根据法律规定，公司应当与小张订立无固定期限劳动合同。如果公司拒绝订立，小张有权要求公司支付双倍工资作为赔偿。
综上所述，公司可以与员工签三次固定期限合同，但需注意在特定条件下第三次续签时劳动者有权要求签订无固定期限劳动合同。如果你或你所在的公司面临类似问题，欢迎直接向我咨询。