结论：学校未按时续签合同而解聘老师，是否需要赔付以及赔付的具体情况，需根据合同到期后的处理方式、是否继续用工以及当地的具体法律规定来判断。以下从不同角度进行分析：
一、合同到期未续签但继续用工的情况
法律背景：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，用人单位未与劳动者续签劳动合同，但劳动者继续在用人单位工作的，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。此时，用人单位应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。
赔付情况：
- 若学校未在一个月内与老师续签书面劳动合同，老师有权要求学校支付未签书面劳动合同期间的双倍工资差额（最多不超过11个月）。
- 若学校无正当理由解聘老师，且未提前通知或支付经济补偿，老师还有权要求学校支付违法解除劳动合同的赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿的两倍。经济补偿的计算方式通常为：按老师在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向老师支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向老师支付半个月工资的经济补偿。
二、合同到期未续签且未继续用工的情况
法律背景：
- 若劳动合同期满后，学校明确表示不再续签劳动合同，且老师也未继续在学校工作，则双方劳动关系自然终止。
赔付情况：
- 在此情况下，学校通常无需支付双倍工资差额或违法解除劳动合同的赔偿金。
- 但若学校未提前通知老师劳动合同到期不再续签，且当地法律规定用人单位需支付经济补偿的，学校可能需按老师在本单位工作的年限支付相应的经济补偿。不过，这一规定并非全国统一，具体需参照当地的相关规定。
三、特殊情况下的赔付
- 老师存在过错：若老师存在严重违反学校规章制度、严重失职或营私舞弊给学校造成重大损害等情形，学校有权依法解除劳动合同且无需支付经济补偿或赔偿金。
- 学校破产或解散：若学校因破产或解散等原因无法继续经营，导致劳动合同无法履行，学校需按老师在本单位工作的年限支付相应的经济补偿。
四、建议与行动
- 收集证据：老师应收集与学校存在劳动关系的证据，如劳动合同、工资单、工作证等，以及学校未续签合同且解聘的相关证据。
- 协商解决：老师可以尝试与学校进行协商，寻求合理的赔付方案。
- 申请劳动仲裁：若协商无果，老师可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
进一步思考：在处理此类纠纷时，老师应充分了解自己的权益和当地的法律规定，以便在协商或仲裁过程中能够有力地维护自己的权益。同时，学校也应加强合同管理，避免因合同到期未续签而引发的法律纠纷。若您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。