结论：针对您描述的情况，单位在您因家里老人重病请假期间仍工作，却不给假并以旷工要挟辞职的行为，是不合法且不合理的。您有权维护自己的合法权益，以下是从不同角度为您提供的详细分析和建议。
一、法律角度分析
请假权利：
- 根据《劳动法》及相关规定，劳动者在遇到家庭重大变故，如直系亲属重病时，有权向用人单位申请事假。用人单位应当根据实际情况，合理批准劳动者的请假申请。
- 在您的情况下，您已经因家里老人重病而请假，且在请假期间仍在工作，这表明您对工作的责任心和敬业精神。单位应当理解并支持您的请假需求，而不是以旷工为由要挟您辞职。
旷工认定：
- 旷工通常指的是劳动者无正当理由未按规定到岗工作。在您的情况下，您已经向单位请假，且请假事由合理（家里老人重病），因此单位不能将您请假期间的行为认定为旷工。
- 如果单位坚持将您请假期间的行为认定为旷工，并以此为由要挟您辞职，那么单位的行为可能构成违法解除劳动合同，您有权要求单位支付赔偿金。
劳动合同解除：
- 根据《劳动合同法》的规定，用人单位解除劳动合同应当有合法理由，并遵循法定程序。如果单位以旷工为由要挟您辞职，但您实际上并未旷工，那么单位的行为可能构成违法解除劳动合同。
- 在这种情况下，您有权要求单位继续履行劳动合同，或者要求单位支付违法解除劳动合同的赔偿金。
二、实际操作建议
与单位沟通：
- 首先，建议您与单位进行坦诚的沟通，说明您请假的原因和实际情况，以及您在请假期间仍在工作的努力。尝试让单位理解您的处境，并撤销对您的旷工认定和辞职要挟。
收集证据：
- 如果与单位沟通无果，建议您开始收集相关证据，如请假记录、工作记录、与单位的沟通记录等。这些证据将有助于您在后续的法律程序中维护自己的权益。
申请劳动仲裁：
- 如果单位坚持其错误做法，您可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁。在仲裁过程中，您需要提交相关证据，证明单位的行为违法，并要求单位承担相应的法律责任。
- 劳动仲裁是解决劳动纠纷的一种有效方式，其裁决具有法律效力。如果单位不履行仲裁裁决，您还可以向法院申请强制执行。
寻求法律援助：
- 如果您在劳动仲裁过程中遇到困难或需要专业的法律帮助，可以寻求法律援助或咨询专业律师。作为专注于劳动纠纷领域的律师，我可以为您提供专业的法律咨询和代理服务。
三、可能面临的法律后果
如果单位被认定违法解除劳动合同：
- 单位可能需要向您支付赔偿金，赔偿金的数额通常根据您在单位的工作年限和工资水平来确定。
- 单位还可能需要恢复与您的劳动关系，即继续履行劳动合同。
如果您选择继续履行劳动合同：
- 单位应当恢复您的工作岗位和工资待遇，并不得对您进行打击报复或歧视。
最后，面对单位的不合理要求，您应当保持冷静和理智，通过合法途径维护自己的权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。