结论：单位在老人生病时拒绝请假可能涉及违法，您可以通过沟通协商、申请病假或事假、向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁等途径维护权益。以下是具体分析：

1. 了解请假类型与单位规定
   首先需明确您申请的是哪种假期。若老人病情严重需陪护，可尝试申请事假（需单位批准）或病假（若您本人因照顾老人患病）。根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，若您本人患病，单位应给予医疗期；但若仅为陪护老人，法律未强制要求单位批准事假，但单位需考虑合理性。
   建议：查阅单位《员工手册》或劳动合同中关于请假的条款，确认是否有相关规定。

2. 与单位沟通协商
   若单位拒绝请假，可尝试与上级或人力资源部门沟通，说明老人病情的紧急性和必要性（如提供医院诊断证明、病危通知书等）。根据《劳动法》第三条，劳动者享有休息休假的权利，单位应合理考虑员工家庭困难。
   示例话术：“我母亲/父亲突发重病，医院已下达病危通知，我需要请假X天陪护。这是诊断证明，请您批准。”

3. 申请病假或事假

   • 病假：若您因照顾老人导致自身患病（如过度劳累住院），可凭医院证明申请病假，单位需支付病假工资（通常为工资的70%-100%）。
     
   • 事假：若您本人未患病，单位有权根据经营情况决定是否批准。但若单位无正当理由拒绝，可能涉嫌违反《劳动合同法》第三十八条（未提供劳动条件），您可主张解除合同并要求经济补偿。
     注意：事假期间单位可不支付工资，但不得扣发其他福利或以旷工处理。

4. 向劳动监察部门投诉
   若单位以旷工为由威胁处罚或解除合同，您可向当地劳动监察大队投诉（电话：12333），提供请假记录、沟通记录、医院证明等证据，要求单位纠正违法行为。

5. 申请劳动仲裁
   若投诉无果，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张单位违法解除合同或未提供劳动条件，要求赔偿损失（如工资、经济补偿金等）。
   时效：自知道权益受损之日起1年内提出。

行动建议：

1. 立即收集医院诊断证明、沟通记录等证据；
   
2. 优先与单位协商，明确请假需求；
   
3. 若协商无果，尽快向劳动监察部门投诉或申请仲裁。
   

如有进一步疑问（如证据收集、仲裁流程等），可直接向我咨询，我会为您详细解答。