核心结论：工厂以老人请假未获批为由要求其办理辞职的做法是不合法的，老人有权拒绝并可采取相应措施维护自身权益。以下从多个角度进行分析：

1. 关于请假未获批的问题

   • 工厂的审批权边界：员工因生病需要请假，这是基于自身健康状况的合理需求。工厂作为用人单位，虽然有权对员工的请假申请进行审批，但这种审批权并非绝对的。如果员工能够提供合理的证明，如医院的诊断证明、病假建议等，证明其确实需要休息治疗，工厂应当予以批准。
   • 不批假的法律后果：如果工厂无正当理由拒绝员工的病假申请，导致员工无法及时就医或休息，可能会对员工的身体健康造成损害。在这种情况下，员工有权向劳动监察部门投诉，要求工厂纠正其不当行为，并可能要求工厂承担相应的赔偿责任。

2. 关于工厂要求办理辞职的问题

   • 辞职的自愿性原则：根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，员工辞职应当是基于自愿的原则。工厂不得以任何理由强迫员工辞职，包括以请假未获批为由。如果工厂强迫员工辞职，员工有权拒绝，并可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
   • 工厂可能面临的法律责任：如果工厂强迫员工辞职，可能构成违法解除劳动合同。根据法律规定，工厂需要向员工支付经济补偿金，甚至可能需要支付赔偿金。经济补偿金的标准根据员工在工厂的工作年限和工资水平确定，赔偿金则是经济补偿金的两倍。

3. 老人可以采取的应对措施

   • 与工厂协商：老人可以首先尝试与工厂进行协商，说明自己的病情和需要休息治疗的必要性，争取工厂的理解和支持。如果工厂仍然坚持要求老人辞职，老人可以明确表示拒绝，并要求工厂提供合理的解决方案。
   • 向劳动监察部门投诉：如果协商无果，老人可以向当地的劳动监察部门投诉，反映工厂的不当行为。劳动监察部门会依法进行调查处理，并可能对工厂进行处罚。
   • 申请劳动仲裁：如果老人的权益受到严重侵害，如工厂违法解除劳动合同等，老人可以向劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求工厂承担相应的法律责任。在申请劳动仲裁时，老人需要提供充分的证据证明自己的主张，如医院的诊断证明、工厂的强迫辞职证据等。

建议：老人应当保留好相关的证据材料，如医院的诊断证明、请假申请、工厂的强迫辞职通知等，以便在需要时能够证明自己的主张。如果老人对法律程序不熟悉或担心自己的权益无法得到保障，可以随时向我咨询，我会根据具体情况为老人提供详细的法律建议和帮助。