结论：您可以先尝试与老板进一步沟通请假事宜，若沟通无果，在辞职时要注意维护自身合法权益，包括工资结算、经济补偿等方面。以下是具体分析和建议：

与老板沟通请假

1. 再次诚恳沟通：向老板详细说明奶奶生病的严重情况，比如病情诊断、医院出具的需要陪护的证明等，让老板了解您请假的必要性和紧迫性。同时，表明您会尽量安排好工作，在请假期间通过线上方式处理一些紧急事务，或者提前与同事做好工作交接，将工作影响降到最低。
2. 提供替代方案：如果您担心请假会影响工作进度，可以主动提出一些解决方案。例如，推荐一位合适的同事在您请假期间暂时接手您的工作，并向老板介绍该同事的能力和优势，让老板放心工作能够顺利开展。

若沟通无果考虑辞职及权益维护

1. 提前通知辞职：根据《中华人民共和国劳动合同法》规定，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。如果您处于试用期，提前三日通知即可。建议您以书面形式（如邮件、书面辞职信等）向老板提交辞职申请，明确辞职的原因和离职日期，保留好相关证据，如邮件发送记录、辞职信签收凭证等。
2. 工资结算：在离职时，用人单位应当按照劳动合同的约定和国家规定，向您及时足额支付劳动报酬。如果老板以各种理由拖欠或克扣工资，您可以先与老板协商解决；协商不成，可以向当地劳动监察部门投诉，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
3. 经济补偿：一般情况下，因您个人原因主动辞职，用人单位无需支付经济补偿。但如果您能证明用人单位存在未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件、未及时足额支付劳动报酬等违法情形，您提出解除劳动合同的，用人单位应当向您支付经济补偿。经济补偿按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。
4. 工作交接：在离职前，要按照公司的规定和要求，与接手的同事做好工作交接。可以制作详细的工作交接清单，注明工作的进展情况、重要事项、相关资料等，确保工作的连续性和稳定性。同时，要求接手的同事在交接清单上签字确认，避免日后出现工作纠纷。

其他途径

如果老板的行为严重侵犯了您的合法权益，您还可以考虑通过以下途径维护自己的权益：

1. 向劳动监察部门投诉：您可以向当地劳动保障监察机构投诉，劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行调查和处理，责令用人单位改正违法行为，并可能对用人单位进行处罚。
2. 申请劳动仲裁：如果您与用人单位之间的劳动争议无法通过协商解决，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。劳动仲裁是解决劳动争议的重要途径，仲裁裁决具有法律效力，用人单位必须履行。
3. 提起诉讼：如果您对劳动仲裁裁决不服，可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。通过司法程序维护自己的合法权益。