在遗嘱真实性存在争议，一方不认可的情况下，通常由提出异议的一方申请鉴定，但具体情形需结合案件实际情况和证据规则来综合判断。以下从不同角度为您详细分析：
一、一般原则：谁主张，谁举证，谁申请鉴定
在民事诉讼中，遵循“谁主张，谁举证”的基本原则。当一方对遗嘱的真实性提出异议时，该方即负有举证责任，需要提供证据来证明其主张。在遗嘱真实性存疑的情况下，申请鉴定是证明遗嘱真伪的一种有效方式。因此，提出异议的一方通常需要承担申请鉴定的责任。
二、具体情形分析
遗嘱形式要件存疑：
- 如果遗嘱的形式要件（如签名、日期、见证人等）存在明显瑕疵或不符合法律规定，且另一方无法合理解释或提供相反证据，那么提出异议的一方申请鉴定遗嘱的真实性是合理的。
遗嘱内容与事实不符：
- 如果遗嘱内容与已知事实（如被继承人的财产状况、家庭关系等）存在明显矛盾，且另一方无法提供合理解释或证据支持遗嘱内容，那么提出异议的一方也可以申请鉴定遗嘱的真实性。
遗嘱笔迹或印章存疑：
- 如果遗嘱上的笔迹或印章与被继承人平时的笔迹或印章存在明显差异，且另一方无法提供合理解释或证据证明遗嘱上的笔迹或印章是被继承人的真实意思表示，那么提出异议的一方同样可以申请鉴定。
三、鉴定申请的注意事项
及时申请：
- 在诉讼过程中，如果一方对遗嘱的真实性提出异议，应当及时向法院提出鉴定申请，以免错过举证期限。
选择合适的鉴定机构：
- 申请鉴定时，应当选择具有相应资质和经验的鉴定机构，以确保鉴定结果的准确性和可靠性。
配合鉴定工作：
- 在鉴定过程中，提出异议的一方应当积极配合鉴定机构的工作，提供必要的样本和证据，以便鉴定机构能够准确地进行鉴定。
四、法律后果
- 如果提出异议的一方未能提供充分证据证明遗嘱不真实，或者鉴定结果支持遗嘱的真实性，那么该方可能需要承担不利的法律后果，如遗嘱继承的份额减少或丧失继承权等。
- 反之，如果鉴定结果证明遗嘱不真实，那么遗嘱可能被认定为无效，遗产将按照法定继承的方式进行处理。
温馨提示：在处理遗嘱真实性争议时，建议当事人及时咨询专业律师，以便更好地了解自己的权利和义务，并制定合适的诉讼策略。如果您有婚姻家庭、离婚、离婚财产纠纷、遗产继承等方面的法律问题，可以直接向我咨询。