结论前置：针对您作为质量体系兼职审核员转机构时被原机构拒绝出具离职证明的问题，您可以采取以下措施来维护自己的合法权益。
一、了解离职证明的法律意义与要求
离职证明，是用人单位与劳动者解除劳动关系后，由用人单位出具给劳动者的书面证明。它不仅是劳动者与原单位劳动关系终止的凭证，也是劳动者在新单位入职时的重要证明材料。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。因此，原机构拒绝出具离职证明的行为，可能违反了法律规定。
二、与原机构沟通协商
- 尝试友好沟通：首先，您可以尝试与原机构进行友好沟通，了解其拒绝出具离职证明的具体原因。如果是因为某些误会或沟通不畅导致的，通过友好协商可能能够解决问题。
- 明确表达诉求：在沟通时，您应明确表达自己的诉求，即要求原机构出具离职证明，并说明该证明对您的重要性。同时，也可以询问原机构是否有其他要求或条件，以便双方能够达成共识。
三、采取法律手段维护权益
如果与原机构的沟通协商无果，您可以考虑采取以下法律手段来维护自己的合法权益：
向劳动监察部门投诉：
- 投诉流程：您可以向当地的劳动监察部门投诉原机构拒绝出具离职证明的行为。劳动监察部门将会对投诉进行调查，并根据调查结果对原机构进行相应的处理。
- 法律依据：根据《劳动保障监察条例》的相关规定，劳动保障行政部门对用人单位违反劳动保障法律、法规或者规章的行为，有权进行调查、检查，并可以责令用人单位改正。
申请劳动仲裁：
- 仲裁流程：如果投诉未能解决问题，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。在仲裁过程中，您需要提供相关证据证明原机构拒绝出具离职证明的事实，并说明该行为对您造成的损失。
- 仲裁结果：劳动争议仲裁委员会将会根据双方提供的证据和法律规定进行裁决。如果裁决支持您的诉求，原机构将被要求出具离职证明，并可能承担因拒绝出具而给您造成的损失赔偿责任。
提起诉讼：
- 诉讼流程：如果对劳动仲裁结果不满意，您还可以向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要准备充分的证据来支持自己的诉求，并遵循法院的诉讼程序进行。
- 诉讼结果：法院将会根据双方提供的证据和法律规定进行判决。如果判决支持您的诉求，原机构将被要求出具离职证明，并承担相应的法律责任。
四、注意事项与建议
- 保留证据：在与原机构沟通协商以及采取法律手段的过程中，您应保留好相关证据，如沟通记录、投诉材料、仲裁申请书、诉讼状等。这些证据将有助于您维护自己的合法权益。
- 咨询专业律师：在处理此类问题时，由于涉及法律程序和专业知识，建议您咨询专业律师的意见。律师将能够为您提供更具体、更专业的法律建议和帮助。不过，既然您已经向我咨询，我会尽我所能为您提供帮助。
- 保持冷静与理性：在处理此类纠纷时，保持冷静与理性至关重要。避免情绪化的行为或言论，以免对问题的解决产生不利影响。
最后，我希望以上建议能够对您有所帮助。如果您在处理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。