判决确认存在劳动关系后，赔偿申请处理的部门主要是劳动争议仲裁委员会或人民法院，具体取决于赔偿事项的性质和是否已经经过仲裁前置程序。以下从不同角度详细分析：
一、赔偿事项性质决定申请部门
劳动争议仲裁前置事项：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的规定，对于因确认劳动关系发生的争议，以及因订立、履行、变更、解除和终止劳动合同等发生的争议，劳动者与用人单位之间应当先向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 若判决确认存在劳动关系后，涉及的是工资、经济补偿、赔偿金等劳动争议事项，且这些事项未经过仲裁前置程序，那么劳动者应当首先向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
可直接向人民法院起诉事项：
- 对于某些特定的劳动争议事项，如因执行国家的劳动标准在工作时间、休息休假、社会保险等方面发生的争议，劳动者可以直接向人民法院提起诉讼，无需经过仲裁前置程序。但需注意，这并不意味着所有劳动争议都可以直接起诉，大多数情况下仍需先经过仲裁。
- 若判决确认存在劳动关系后，涉及的是社会保险待遇损失等可以直接起诉的赔偿事项，且劳动者选择直接起诉，那么应当向有管辖权的人民法院提起诉讼。
二、仲裁前置程序后的处理
- 若劳动者已经就劳动争议事项向劳动争议仲裁委员会申请了仲裁，且对仲裁裁决不服，那么根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动者可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
- 在这种情况下，赔偿申请的处理部门就是人民法院，劳动者需要准备充分的证据材料，按照民事诉讼的程序向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
三、实际操作建议
明确赔偿事项：
- 劳动者在申请赔偿前，应当明确自己要求赔偿的具体事项和金额，以及这些事项是否属于劳动争议仲裁前置的范围。
准备证据材料：
- 劳动者需要准备充分的证据材料来支持自己的赔偿请求，如劳动合同、工资单、工作证、考勤记录等，以证明自己与用人单位之间存在劳动关系以及用人单位存在违法行为。
选择正确的申请部门：
- 根据赔偿事项的性质和是否已经经过仲裁前置程序，劳动者应当选择正确的申请部门，即劳动争议仲裁委员会或人民法院。
遵循法律程序：
- 劳动者在申请赔偿时，应当遵循法律程序，按照规定的期限和方式提交申请材料，并积极参加仲裁或诉讼活动，以维护自己的合法权益。
总结来说，判决确认存在劳动关系后，赔偿申请处理的部门主要是劳动争议仲裁委员会或人民法院。劳动者应当根据自己的具体情况和赔偿事项的性质，选择正确的申请部门，并遵循法律程序来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。