针对您提出的“合同到期后半年没有续签劳动合同被辞退”的问题，以下是我的详细解答：

1. 法律关系的认定：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关实施条例，劳动合同期满后，若劳动者仍在原用人单位工作且用人单位未提出异议，这视为双方同意以原条件继续履行劳动合同，即形成事实劳动关系。在此期间，您享有与正常劳动合同关系下相同的劳动权益。

2. 公司辞退行为的合法性分析：

   • 合法辞退：若公司能证明您存在严重违反规章制度、严重失职等《劳动合同法》规定的可解除劳动合同的法定情形，并且提供充分证据支持，其辞退行为可能合法，但需注意，这种情况下的合法辞退仍需支付您合同到期后未续签期间的双倍工资差额（若符合支付条件），只是无需支付违法解除的赔偿金。
   • 违法辞退：若公司无上述法定理由而随意辞退您，如仅因经营方向调整或岗位需求变化，未与您协商一致即直接辞退，则构成违法解除劳动关系。在此情况下，您有权要求公司支付赔偿金。

3. 您可主张的权益：

   • 经济补偿/赔偿金：
     • 若公司合法辞退且符合支付经济补偿情形的（如合同到期公司不续签，但此情况已因您继续工作而转变为事实劳动关系，故主要考虑违法解除的情形），但在此案例中，更可能的是公司违法解除，您可要求公司支付赔偿金，标准为经济补偿的二倍。经济补偿的计算方式为：按您在公司的工作年限，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。赔偿金则为该数额的两倍。
     • 鉴于您合同到期后已继续工作半年，若视为事实劳动关系被违法解除，您可主张的赔偿金至少为1个月工资（假设您工作年限不满一年但超过六个月）的两倍，即2个月工资。若您实际工作年限更长，则赔偿金相应增加。
   • 未签书面劳动合同的双倍工资差额：
     • 合同到期后未续签但继续工作的，从合同到期次月起，您可要求公司支付双倍工资差额。在此案例中，您已继续工作半年，故可主张5个月的双倍工资差额（扣除已支付的部分）。但需注意仲裁时效问题，通常为一年，从您知道或应当知道权利被侵害之日起计算。

4. 维权途径与建议：

   • 协商解决：首选与公司友好协商，明确法律依据，争取合理补偿或赔偿。
   • 证据收集：在整个过程中，您应妥善收集和保留相关证据，如原劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、辞退通知等，以备后续维权使用。
   • 劳动监察投诉：协商不成时，可向当地劳动监察部门投诉，由其对公司违法行为进行调查处理。
   • 劳动仲裁：若投诉无果，您可直接向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，通过法律程序维权。仲裁裁决具有法律效力，公司不履行时可向法院申请强制执行。
   • 诉讼：对仲裁结果不满意时，您可在规定时间内向人民法院提起诉讼，通过司法途径进一步维护自身权益。

总结与建议：面对合同到期未续签但被辞退的情况，您应冷静应对，明确自身权益。首先尝试与公司协商解决，若协商不成，则通过劳动监察投诉、劳动仲裁或诉讼等途径维权。在整个过程中，注重证据收集与保留至关重要，以确保自身主张得到有力支持。若您在此过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。