结论前置：工作半年未签劳动合同且被辞退，您有权依法要求用人单位支付未签劳动合同的双倍工资差额，以及若用人单位违法辞退，您还有权要求支付赔偿金。您可以通过与公司协商、申请劳动仲裁等途径来维护自身权益。
一、未签劳动合同的权益及计算
根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，对于您工作半年的情况，除去第一个月的正常工资，用人单位需额外支付五个月工资作为未签劳动合同的双倍工资差额。
计算公式：双倍工资差额 = 月工资 × 5（个月）
二、被辞退的权益分析
- 违法辞退的情况：
- 若用人单位无合法理由辞退您，则构成违法解除劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条和第八十七条的规定，用人单位应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，对于您工作半年的情况，您可以获得一个月工资的赔偿金。
计算公式：赔偿金 = 月工资 × 1（个月）× 2（倍） = 月工资 × 2（但考虑到工作年限，实际为一个月工资的两倍，即直接按一个月工资的两倍计算，此处公式简化为赔偿金=月工资×1（按一年算的经济补偿）×2（违法解除的倍数），结果仍为一个月工资的两倍，表述上直接说明为一个月工资的赔偿金更直观）
- 简化说明：由于您工作了半年，按一年计算经济补偿是半个月工资，但违法解除需支付两倍，即一个月工资作为赔偿金。
- 合法辞退的情况（虽不常见于此类情境，但为全面分析仍需提及）：
- 若用人单位因您存在严重违反公司规章制度、严重失职等合法理由辞退您，则无需支付赔偿金。但在此情况下，用人单位仍需支付您未签劳动合同的双倍工资差额。
三、维权途径
与公司协商：
- 您可以尝试与公司的人力资源部门或相关负责人进行沟通，明确指出公司未签订劳动合同以及违法辞退的行为违反了相关法律法规，要求公司给予合理的赔偿。在沟通时，保持冷静和理性，清晰地表达自己的诉求和依据。
申请劳动仲裁：
- 若协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。准备仲裁材料时，需包括仲裁申请书、证据材料（如工作记录、沟通记录、财务凭证等）以及其他相关材料（如身份证复印件、公司的工商登记信息等）。仲裁委员会在收到申请后，会进行审查，符合受理条件的，会在一定期限内予以受理，并通知双方当事人。
提起诉讼：
- 若对劳动仲裁结果不满意，认为仲裁裁决存在错误或不公正的情况，您可以在规定的期限内向有管辖权的人民法院提起诉讼。准备诉讼材料时，需包括民事起诉状、仲裁裁决书复印件、相关证据材料等。
四、后续执行与监督
- 若仲裁庭或法院支持了您的请求，用人单位应当按照裁决结果或判决结果在规定的期限内履行赔偿义务。若用人单位未履行，您可以向人民法院申请强制执行。
温馨提示：在整个维权过程中，建议您保留好所有相关证据和沟通记录，以便在需要时提供证明。同时，若您对法律程序不熟悉或感到困惑，可以随时向我咨询，我会为您提供专业的法律帮助。