结论前置：若在公司工作半年未签劳动合同且被无故辞退，您有权依法维护自身权益，包括要求公司支付未签劳动合同的双倍工资差额及违法解除劳动合同的赔偿金。以下是详细的维权步骤和法律分析：
一、确认劳动关系与收集证据
尽管没有书面劳动合同，但实际劳动关系仍受法律保护。为证明劳动关系存在，您应收集以下关键证据：
- 工作记录类：如考勤表、工作日志、工作任务分配单等，这些能证明您在公司的日常工作内容和时间安排。例如，考勤表可以清晰显示您每天的出勤情况，是证明劳动关系的重要依据。
- 薪资相关类：工资条、银行工资流水明细等，工资条上会有您的工资金额、发放时间等信息，银行流水则能体现工资的来源和金额变化，二者结合可以证明您与公司存在经济往来，即雇佣关系。
- 沟通记录类：与上级或同事的工作邮件、聊天记录（如微信、QQ等），其中可能包含工作安排、任务讨论等内容，从侧面反映您在公司的工作状态。
- 其他证据：如工作证、工牌、同事证言等，也能在一定程度上证明劳动关系的存在。
二、明确权益受损点与法律依据
未签劳动合同的双倍工资差额：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 计算方式：您可以主张从第二个月起至第六个月的双倍工资差额。具体计算公式为：双倍工资差额 = 月工资 × 5个月（假设您月工资固定且未发生变化）。
违法解除的赔偿金：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条和第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 计算方式：由于您在公司工作了半年，因此可获得一个月工资的赔偿金。具体计算公式为：赔偿金 = 月工资 × 1个月。
三、与公司进行协商谈判
在收集了足够的证据后，您可以尝试与公司的人力资源部门或直接上级领导进行沟通，明确指出公司未签订劳动合同以及违法辞退的行为违反了相关法律法规，要求公司给予合理的赔偿。在沟通时，要保持冷静和理性，清晰地表达自己的诉求和依据。如果公司同意进行协商，双方可以就赔偿金额、支付方式、离职手续办理等问题进行讨论，并尽量达成一个双方都能接受的解决方案。
四、申请劳动仲裁
如果协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。具体步骤如下：
准备仲裁材料：
- 仲裁申请书：详细陈述您的工作经历、公司未签订劳动合同的事实、被辞退的过程以及您的仲裁请求和理由。申请书应当内容具体、逻辑清晰，并附上相关的证据清单。
- 证据材料：将之前收集的所有证据进行整理和分类，按照一定的顺序编号，并制作证据清单。证据清单应注明每份证据的名称、来源、证明目的等信息，方便仲裁庭查阅和审核。
- 其他材料：如身份证复印件、公司的工商登记信息等。
提交仲裁申请：
- 将准备好的仲裁申请材料提交给当地劳动争议仲裁委员会。仲裁委员会在收到申请后，会进行审查，符合受理条件的，会在一定期限内予以受理，并向双方发送仲裁通知书。
参加仲裁庭审：
- 在仲裁庭审中，您需要如实陈述自己的工作经历和公司的不当行为，强调自己的合法权益受到了侵害。同时，要针对公司可能提出的辩解和反驳意见，提前准备好相应的回应和证据。在辩论和质证环节，要认真听取公司的观点和证据，对其不合理的地方进行质疑和反驳。
五、提起诉讼（若对仲裁结果不满意）
如果对劳动仲裁结果不满意，认为仲裁裁决存在错误或不公正的情况，您可以在规定的期限内向有管辖权的人民法院提起诉讼。一般来说，起诉期限是自收到仲裁裁决书之日起十五日内。在诉讼过程中，要遵循法院的诉讼程序，积极配合法院的审理工作。通过法庭调查、举证质证、法庭辩论等环节，充分阐述自己的观点和主张，争取法院的支持和判决。
温馨提示：在整个维权过程中，请务必保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。如果您在维权过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会为您提供专业的法律帮助。