针对您在公司上了半个月无故被辞退且没有签订合同的情况，以下是我的详细分析和建议：

1. 确认劳动关系：

   • 即便没有签订书面劳动合同，只要您为公司提供了劳动，且公司支付了报酬，就已经形成了事实劳动关系。因此，您有权维护自己的合法权益。

2. 主张双倍工资：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。虽然您只工作了半个月，但这一规定表明了用人单位未签订书面劳动合同的法律责任。不过，双倍工资的差额通常从入职第二个月开始计算，因此对于您这半个月的工作，可能无法直接主张双倍工资差额，但可以作为后续协商或仲裁的一个参考点。

3. 要求经济赔偿金：

   • 公司无故辞退您，属于违法解除劳动合同的行为。根据《劳动合同法》的规定，用人单位违法解除劳动合同的，应当向劳动者支付赔偿金，赔偿金的标准是经济补偿的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，对于您这半个月的工作，您可以要求公司支付半个月工资的经济补偿，并在此基础上主张二倍的赔偿金，即一个月工资。

4. 收集证据：

   • 为了顺利维权，您需要准备一些能够证明劳动关系的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、工作邮件、聊天记录等。这些证据将有助于您在劳动仲裁或诉讼中证明自己的权益。

5. 申请劳动仲裁：

   • 如果与公司协商不成，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。在仲裁过程中，您需要提交相关证据，并阐述自己的诉求和理由。

6. 后续行动：

   • 在仲裁或诉讼过程中，您可能需要关注仲裁或诉讼的流程、时间限制以及可能的结果。同时，您也可以考虑咨询专业律师以获取更具体的法律建议和帮助。

综上所述，针对您在公司上了半个月无故被辞退且没有签订合同的情况，您有权要求公司支付经济赔偿金，并可以收集相关证据申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。如果您有任何进一步的疑问或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询。