针对您入职半个月未签合同且被无缘无故辞退的情况，以下是从不同角度给出的法律分析和建议：
一、未签劳动合同的法律后果及权益
双倍工资主张：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。虽然您仅工作了半个月，未达到主张双倍工资的一个月期限，但此规定明确了用人单位未及时签合同的法律责任，也提醒您在后续工作中注意保留相关证据，以防类似情况再次发生时能主张权益。
事实劳动关系证明：
- 尽管未签合同，但您已实际为公司提供了劳动，形成了事实劳动关系。您应收集如工资发放记录（银行转账记录、现金签收单等）、工作邮件、聊天记录、考勤记录、工作证、同事证言等证据，以证明劳动关系的存在。这些证据在后续维权过程中将起到关键作用。
二、被无故辞退的法律后果及权益
违法辞退的赔偿：
- 用人单位无正当理由辞退您，属于违法解除劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条，您有权要求用人单位支付赔偿金，标准为经济补偿的二倍。经济补偿按您在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，您有权要求用人单位支付一个月工资作为赔偿金（半个月经济补偿的二倍）。
工资结算：
- 无论是否签合同，您已为公司提供了半个月的劳动，公司应支付您这半个月的工资。这是您的合法劳动所得，公司无权拒绝支付。
三、维权途径及建议
协商：
- 首先，您可以尝试与公司进行协商，要求公司支付应得的工资和赔偿金。协商过程中，保持冷静和理性，明确表达您的诉求和依据。
劳动监察部门投诉：
- 若协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行调查和处理，并责令用人单位限期支付工资和赔偿金。
劳动争议仲裁委员会申请仲裁：
- 若投诉仍未解决您的问题，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在仲裁过程中，您需要提交相关证据证明劳动关系的存在、公司的违法行为以及您的损失。仲裁委员会将依法进行裁决，维护您的合法权益。
行动建议：
- 立即收集并保存所有能证明您与公司存在劳动关系及公司违法行为的证据。
- 尝试与公司进行友好协商，明确表达您的诉求和依据。
- 若协商无果，及时向劳动监察部门投诉或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
在处理此类纠纷时，请保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。