结论：入职40天没签合同被辞退，您有权要求公司支付未签劳动合同的双倍工资差额以及可能的违法解除劳动合同的赔偿金。
详细分析：
未签劳动合同的双倍工资差额：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 应用情况：您入职40天，公司未与您签订劳动合同，因此，您有权要求公司支付从入职满一个月后的第二天起至实际签订劳动合同或离职之日止的双倍工资差额。具体来说，就是要求公司支付您第2个月（即入职后的第31天至第40天，若按整月算为第2个月的部分天数）的工资作为双倍工资差额的补偿（实际计算时，会根据具体天数折算）。
违法解除劳动合同的赔偿金：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条的规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 应用情况：若公司无法证明其辞退您的行为是合法的（如无法证明您存在严重违反公司规章制度、不能胜任工作且经过培训或调岗后仍不能胜任等情形），则公司的辞退行为构成违法解除劳动合同。此时，您有权要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿的两倍。经济补偿的计算方式为：每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。由于您入职40天，不满六个月，因此经济补偿为半个月工资，赔偿金则为一个月工资。
建议行动：
- 与公司协商：首先，您可以尝试与公司进行协商，要求公司支付未签劳动合同的双倍工资差额以及违法解除劳动合同的赔偿金。
- 申请劳动仲裁：若协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，提交相关证据（如工作证、工资条、辞退通知等）来证明您的主张。
- 寻求法律援助：在劳动仲裁过程中，如果您需要法律帮助或咨询，可以随时向我提问，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。
注意事项：
- 保留证据：在整个过程中，请务必保留好所有与公司相关的证据，包括工作证、工资条、辞退通知、与公司的沟通记录等，这些证据将对您维护自己的权益至关重要。
- 及时行动：劳动争议的仲裁时效为一年，自您知道或应当知道自己的权益被侵害之日起计算。因此，请务必及时采取行动，以免错过仲裁时效。