结论：入职20天没签合同被辞退，您可能面临两个主要问题，一是未签订书面劳动合同的法律责任，二是被违法辞退的赔偿问题。以下是对这两个问题的详细分析：
一、未签订书面劳动合同的法律责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条：“建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。”
- 第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
分析：
- 您入职20天未签订书面劳动合同，虽然尚未超过法律规定的“一个月”期限，但用人单位应尽快与您签订合同，以避免后续法律风险。
- 若用人单位在您入职一个月后仍未与您签订书面劳动合同，您有权要求用人单位支付自入职第二个月起的双倍工资。
二、被违法辞退的赔偿问题
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条：“劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：……（此处列举的是合法解除的情形，如严重违反用人单位的规章制度等）。”
- 第四十七条：“经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。”
- 第八十七条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。”
分析：
- 若用人单位无法定理由（如您未严重违反规章制度等）辞退您，则构成违法解除劳动合同。
- 您有权要求用人单位支付违法解除劳动合同的赔偿金，即按照您在本单位工作的年限（虽然您只工作了20天，但按不满六个月计算），支付半个月工资的经济补偿的两倍，也就是一个月工资作为赔偿金。不过，由于您工作时间较短，实际赔偿金额可能相对有限，但具体数额还需根据您的实际工资水平来确定。
- 计算公式：赔偿金 = 月工资 × 1（因为不满六个月，按半个月经济补偿的两倍计算，即一个月工资）
三、建议行动
与用人单位协商：
- 首先，您可以尝试与用人单位进行协商，要求其支付未签订书面劳动合同的双倍工资差额（虽然目前尚未到支付期限，但可提醒用人单位尽快签订合同）以及违法解除劳动合同的赔偿金。
申请劳动仲裁：
- 若协商无果，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求用人单位支付相应的赔偿。
- 在申请劳动仲裁时，您需要准备相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明您与用人单位存在劳动关系以及被违法辞退的事实。
寻求法律援助：
- 若您对劳动仲裁流程不熟悉或担心自己的权益得不到保障，可以寻求专业律师的帮助。作为专注于合同纠纷和劳动工伤领域的律师，我可以为您提供专业的法律咨询和代理服务。
最后，面对此类情况，保持冷静并依法维权至关重要。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。