结论前置：

1. 通常情况下，提出辞职后无需再签劳动合同。
2. 但若存在未结清工资、经济补偿等特殊情况，双方可能会签订相关协议。

详细分析：

首先，我们需要明确劳动合同的基本性质和作用。劳动合同是用人单位和劳动者之间确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。它通常在建立劳动关系之初签订，并伴随着劳动关系的存续而持续有效。

一、提出辞职后劳动合同的常规处理

当劳动者提出辞职时，这通常意味着劳动关系即将结束。在这种情况下，一般不再需要签订新的劳动合同。因为劳动合同的主要目的已经实现，即确立了劳动关系并明确了双方的权利和义务。辞职后，劳动者和用人单位之间的劳动关系将逐渐终止，因此无需再签新的劳动合同。

二、特殊情况下的协议签订

然而，在辞职过程中，可能会遇到一些特殊情况，如未结清的工资、经济补偿、奖金发放、工作交接等。在这些情况下，双方可能会签订一些相关的协议或文件，以明确双方的权利和义务，确保辞职过程的顺利进行。这些协议或文件可能涉及工资结算、经济补偿支付、保密义务、竞业限制等内容。它们的签订有助于避免潜在的纠纷和争议，保护双方的合法权益。

三、未签劳动合同的法律后果及补救措施

针对您入职半个月未签劳动合同的情况，虽然您已经提出辞职，但根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位仍有义务在用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。若超过一个月仍未签订，用人单位需向劳动者每月支付二倍的工资作为补偿（不过此条款通常适用于用工超过一个月的情况，但体现了法律对签订书面劳动合同的强制性要求）。不过，鉴于您已经提出辞职且未到期，若用人单位愿意与您签订书面劳动合同以明确双方权利义务（尤其是涉及辞职相关事宜时），从法律角度讲并无不可，且有助于保障您的权益。但实际操作中，由于您即将离职，签订新合同的可能性较低，双方更可能通过协商解决未结事宜并签订相关协议。

四、建议与注意事项

1. 与用人单位协商：在辞职过程中，建议您与用人单位进行充分沟通，明确双方的权利和义务，确保辞职过程的顺利进行。
2. 保留相关证据：为了保障自己的合法权益，建议您保留与用人单位之间的相关证据，如工资条、工作证、考勤记录等。
3. 咨询专业律师：如果您在辞职过程中遇到任何法律问题或纠纷，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。

综上所述，提出辞职后一般无需再签劳动合同，但在特殊情况下双方可能会签订相关协议。同时，针对您入职半个月未签劳动合同的情况，虽然您已经提出辞职，但用人单位仍有义务与您签订书面劳动合同（实际操作中可能通过协商解决未结事宜并签订相关协议），以保障您的合法权益。