结论前置：

1. 入职一个多月没签劳动合同，离职时是否需要签离职协议，需视具体情况而定，但通常建议签订离职协议以明确双方权利义务。
2. 无论是否签订离职协议，用人单位都应尽快与员工补签劳动合同或依法处理未签劳动合同的法律后果。

详细分析：

一、关于离职协议的签订

离职协议是劳动者与用人单位在解除或终止劳动合同时，就双方的权利义务进行明确约定的书面文件。它通常包括离职时间、工资结算、经济补偿（如有）、保密义务、竞业限制（如有）等条款。

1. 建议签订离职协议的情况：

   • 明确双方权利义务：即使入职时间不长，离职时签订离职协议也能明确双方在离职过程中的权利义务，避免后续纠纷。
   • 保障双方权益：离职协议可以规定工资结算、经济补偿等事项，保障劳动者的合法权益；同时，也可以对用人单位的商业秘密保护、竞业限制等提出要求，维护用人单位的利益。

2. 可不签订离职协议的情况：

   • 双方无争议：如果双方对离职时间、工资结算等事项均无异议，且没有保密义务、竞业限制等特殊约定，那么不签订离职协议也不会产生太大问题。但这种情况较为少见，因为即使入职时间不长，也可能存在工资结算、工作交接等需要明确的事项。

二、关于未签劳动合同的法律后果

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付两倍的工资，并与劳动者补订书面劳动合同。

1. 法律风险：

   • 支付双倍工资：如果用人单位未能在规定时间内与员工签订劳动合同，员工有权要求用人单位支付双倍工资。
   • 劳动纠纷：未签劳动合同可能导致双方在离职时产生纠纷，如工资结算、经济补偿等事项无法达成一致，从而引发劳动仲裁或诉讼。

2. 建议处理方式：

   • 尽快补签劳动合同：无论员工是否即将离职，用人单位都应尽快与其补签劳动合同，以避免法律风险。
   • 依法处理离职事宜：如果员工已经离职且未签劳动合同，用人单位应依法处理离职事宜，如支付工资、经济补偿等，并尽量与员工协商签订离职协议以明确双方权利义务。

三、实际操作建议

1. 对于用人单位：

   • 加强劳动合同管理：建立完善的劳动合同管理制度，确保在员工入职时及时签订劳动合同。
   • 及时处理离职事宜：员工离职时，应尽快与其办理离职手续，并签订离职协议（如有需要）以明确双方权利义务。

2. 对于劳动者：

   • 了解自身权益：在离职时，应了解自己的合法权益，如工资结算、经济补偿等事项。
   • 积极协商：与用人单位积极协商离职事宜，尽量达成一致意见并签订离职协议以保障自身权益。

最后，无论入职时间长短，离职时签订离职协议都是一个明智的选择，它可以明确双方的权利义务，避免后续纠纷。同时，用人单位也应尽快与员工补签劳动合同或依法处理未签劳动合同的法律后果。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。