结论：在第三次签订劳动合同时，如果劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件，而用人单位拒绝签订，劳动者有权要求赔偿。赔偿的具体情况需根据劳动者的实际工作年限和工资水平来确定，一般而言，若用人单位违法解除劳动合同，赔偿金为经济补偿标准的二倍，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准计算。
一、法律背景与规定
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，无固定期限劳动合同是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。在特定情况下，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，应当订立无固定期限劳动合同。这些情况包括：
- 劳动者在该用人单位连续工作满十年的；
- 用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；
- 连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有《劳动合同法》第三十九条（如试用期间不符合录用条件、严重违反规章制度等）和第四十条第一项（患病或非因工负伤不能从事工作）、第二项（不能胜任工作经过培训或调整仍不能胜任）规定的情形，续订劳动合同的。
二、赔偿方式及标准
双倍工资赔偿：
- 若用人单位未按规定签订无固定期限劳动合同，从应签之日起需每月向劳动者支付双倍工资。这里的“应签之日”指第三次应签无固定期限合同的起始时间。但需注意，这一赔偿通常适用于用人单位未与劳动者签订书面劳动合同的情况，在第三次合同且应签无固定期限合同的情况下，若未签，更侧重于考虑违法解除或未签无固定期限合同的赔偿。
经济补偿：
- 若因未签订无固定期限合同导致劳动关系被用人单位违法解除，劳动者有权要求经济补偿。补偿标准按劳动者在本单位的工作年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年按一年计算；不满六个月支付半个月工资。计算公式为：经济补偿 = 工作年限 × 月工资。
赔偿金：
- 在此情况下，若用人单位违法解除劳动合同，劳动者还有权要求支付赔偿金，其计算标准为经济补偿标准的两倍。计算公式为：赔偿金 = 2 × 经济补偿 = 2 × 工作年限 × 月工资。
三、维权途径
协商：
- 劳动者首先可与用人单位协商，要求支付相应赔偿，并签订无固定期限劳动合同。
仲裁：
- 协商不成时，劳动者可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，需提供相关证据证明工作年限、劳动关系及用人单位的违法行为，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等。
诉讼：
- 对仲裁结果不服的劳动者，可在规定时间内向人民法院提起诉讼，通过司法途径维权。
四、注意事项
证据收集：
- 劳动者在主张赔偿时，应收集和保留相关证据，以证明工作年限、劳动关系及用人单位的违法行为。
时效问题：
- 劳动者需注意仲裁时效和诉讼时效，一般为一年，从知晓或应当知晓权利被侵害之日起计算。
特殊情况：
- 在某些特殊情境下，如劳动者严重违反公司规章制度，用人单位可能有权拒绝签订无固定期限劳动合同或解除劳动合同。但这需具体分析和判断，并依据相关法律法规执行。
总结：对于第三次劳动合同公司不签无固定期限的情况，劳动者应充分了解自己的权益和赔偿流程，积极收集证据，并通过合法途径维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。