结论前置：无论公司是否设有工会，辞退员工都必须严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规的规定，确保解雇过程的合法性和公正性。以下是从用人单位和劳动者两个角度，对“开除员工公司没有工会怎么办”这一问题的详细解答。
用人单位角度
明确并合法的辞退理由：
- 公司辞退员工必须有合法且明确的理由，如员工严重违反公司规章制度、不能胜任工作且经培训或调整岗位后仍不能胜任等。这些理由必须符合《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条、第四十条的规定。
严格履行法定程序：
- 即便公司没有工会，辞退员工时也需遵循法定程序。例如，对于非过失性辞退，公司需提前三十日以书面形式通知员工，或额外支付一个月工资作为代通知金。
- 在经济性裁员的情况下，公司需提前三十日向全体职工说明情况，听取意见后，向劳动行政部门报告裁减人员方案。
与员工沟通并准备文件：
- 公司应与员工进行坦诚的对话，解释辞退的原因和决策过程，保持透明度和诚实。
- 确保所有与辞退相关的文件（如辞退通知书、工作表现评估、违规记录等）完整准确，这些文件将作为法律证据支持公司的决策。
考虑法律风险并咨询专业意见：
- 在辞退员工前，公司应评估潜在的法律风险，并咨询专业的法律顾问或律师，以确保决策的合法性和合规性，避免法律纠纷。
劳动者角度
了解辞退的合法性：
- 劳动者应首先了解公司辞退自己的理由是否合法，是否符合《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。如果认为公司的辞退行为不合法，劳动者有权维护自己的合法权益。
收集证据：
- 劳动者应收集与劳动关系相关的证据，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、辞退通知等，以证明劳动关系及辞退事实。这些证据在后续的劳动仲裁或诉讼中至关重要。
与公司协商：
- 在了解辞退的合法性后，劳动者可以尝试与公司进行协商，要求公司说明辞退的合法性，并提出自己的诉求，如恢复劳动关系或获得合理的经济补偿。
申请劳动仲裁：
- 如果协商不成，劳动者可以在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁委员会将根据双方提供的证据和相关法律法规进行裁决。
提起诉讼：
- 如果对仲裁结果不满意，劳动者可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，进一步维护自己的合法权益。
特殊情况说明
- 无需工会同意的情形：如果员工因严重违反公司规章制度、严重失职给公司造成重大损害等原因被辞退，公司无需经过工会同意即可直接解雇。但即便如此，公司也需确保解雇决定的合理性和合法性，并遵循法定程序。
综合建议
- 遵守法律：无论是公司还是劳动者，都应严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规的规定，确保劳动关系的合法性和公正性。
- 充分沟通：在辞退或被辞退的过程中，双方应保持充分的沟通，解释原因和决策过程，以减少不必要的争议和纠纷。
- 规范操作：公司应严格按照法律规定办理相关手续，支付经济补偿（如适用），并妥善保管相关证据材料。劳动者则应积极收集证据，维护自己的合法权益。
希望以上解答能够帮助您更好地理解“开除员工公司没有工会怎么办”这一问题。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。