结论前置：公司没有工会时，开除员工仍需严格遵循相关法律法规和公司规章制度，确保过程合法、公正且透明。以下是从用人单位和劳动者两个角度的详细分析：
用人单位角度
明确并合法的辞退理由：
- 过失性辞退：依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，若劳动者存在严重违反规章制度、失职营私舞弊等行为，用人单位可解除劳动合同且不支付经济补偿。例如，员工连续旷工达到公司制度规定的天数，或严重违反公司安全操作规程等。
- 非过失性辞退：根据《劳动合同法》第四十条，如劳动者患病不能工作、不能胜任工作或劳动合同无法履行等情形，用人单位需提前三十日书面通知或额外支付一个月工资后解除劳动合同。例如，员工因长期患病无法从事原工作，且公司无法为其安排其他合适岗位。
严格履行法定程序：
- 对于非过失性辞退和经济性裁员，即使无工会，也需提前通知劳动者，并按法律规定支付经济补偿。经济补偿的计算标准通常为每满一年支付一个月工资，不满六个月的支付半个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算。
- 经济性裁员（涉及二十人以上或占企业职工总数百分之十以上）需提前三十日向全体职工说明情况，听取意见后，向劳动行政部门报告裁减人员方案。虽然无工会，但这一民主程序仍需履行，以确保裁员的合法性和合理性。
与员工沟通并准备文件：
- 与员工进行坦诚对话，解释辞退原因和决策过程，保持透明度和诚实。这有助于减少误解和冲突，维护公司形象。
- 确保所有与辞退相关的文件（如辞退通知书、工作表现评估、违规记录等）完整准确，作为法律证据支持决策。这些文件在后续可能出现的劳动争议中至关重要。
考虑法律风险并咨询专业意见：
- 评估潜在的法律风险，如员工可能提起的劳动仲裁或诉讼等。咨询专业的法律顾问或律师，采取预防措施避免法律纠纷。例如，在辞退前对辞退决定的合法性进行审查，确保符合相关法律法规和公司制度。
劳动者角度
若劳动者遭遇不合法辞退，可采取以下措施维护权益：
与用人单位协商：
- 尝试与用人单位沟通，了解辞退原因和依据，要求说明辞退的合法性。若认为不合法，可提出诉求，如恢复劳动关系或获得合理经济补偿。协商过程中保持冷静和理性，避免情绪化表达。
收集证据：
- 收集劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、辞退通知等与劳动关系相关的证据，以证明劳动关系及辞退事实。这些证据在后续劳动仲裁或诉讼中至关重要。
申请劳动仲裁：
- 若协商不成，可在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁委员会将根据双方证据和相关法律法规进行裁决。仲裁时效的计算需特别注意，避免错过申请时机。
提起诉讼：
- 对仲裁结果不满意时，可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，进一步维护自身权益。诉讼过程中需提供充分证据证明自己的主张，并遵循法院的审理程序。
法律背景与建议：
- 法律背景：我国《劳动法》和《劳动合同法》为员工提供了基本的权益保障，包括合同解除条件、经济补偿、违法解除的后果等。用人单位在辞退员工时必须严格遵守这些法律法规，否则可能面临法律责任。
- 建议：无论是用人单位还是劳动者，在面临劳动纠纷时都应保持冷静和理性，通过合法途径解决问题。用人单位应加强内部管理，完善规章制度，确保辞退决定的合法性和合理性；劳动者则应增强法律意识，了解自己的权益和维权途径，积极维护自身合法权益。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。