结论前置：公司没有工会并不影响其辞退员工的合法性判断，但公司必须严格遵守《劳动合同法》的相关规定，确保辞退过程的合法性和公正性。若公司违法辞退员工，员工有权依法维护自身权益。
公司辞退员工的合法性判断
法定情形：
- 公司可基于员工严重违反规章制度、不能胜任工作且经培训或调整岗位后仍不能胜任等法定情形进行辞退。这些情形在《劳动合同法》中有明确规定，如第三十九条和第四十条所列。
- 举例：若员工因严重失职给公司造成重大损害，公司有权依据《劳动合同法》第三十九条第三款的规定辞退员工，且无需支付经济补偿。
通知与经济补偿：
- 公司必须以书面形式向员工说明辞退原因和依据，确保员工了解辞退的具体理由。
- 如符合支付条件，公司需按员工工作年限给予经济补偿。经济补偿的计算方式为：每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年按一年计，不满六个月支付半个月工资。
办理手续：
- 公司需出具解除或终止劳动合同的证明，并在十五日内为员工办理档案和社会保险关系转移手续，确保员工的合法权益不受影响。
公司违法辞退的法律责任与员工维权途径
确认违法情形：
- 包括无正当理由随意辞退、未按照法定程序辞退等。这些行为均违反了《劳动合同法》的相关规定，公司需承担相应的法律责任。
员工权益：
- 协商：员工有权与公司协商，要求纠正错误决定或给予合理赔偿。赔偿金通常为经济补偿标准的二倍。
- 投诉：员工可向劳动监察部门投诉，提交相关证据，由劳动监察部门调查核实并依法处理。
- 仲裁：员工有权直接向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求支付违法辞退的赔偿金等。仲裁委员会将根据双方证据和相关法律法规进行裁决。
- 诉讼：对仲裁结果不满意时，员工可在规定时间内向人民法院提起诉讼，进一步维护自身权益。
特殊情况的特殊处理
- 若员工因严重违反公司规章制度、严重失职给公司造成重大损害等原因被辞退，公司无需经过工会即可直接解雇。但即便如此，公司也需确保解雇决定的合理性和合法性，避免引发不必要的法律纠纷。
综合建议
公司角度：
- 公司应严格遵守《劳动合同法》关于解雇的相关规定，确保解雇决定的合法性和公正性。
- 在辞退过程中，公司应与员工进行充分沟通，解释辞退原因，以减少不必要的争议和纠纷。
- 公司应规范操作，严格按照法律规定办理相关手续，支付经济补偿（如适用），并妥善保管相关证据材料。
员工角度：
- 若员工遭遇不合法辞退，应首先与公司协商，了解辞退原因和依据，并要求说明辞退的合法性。
- 若协商无果，员工可收集相关证据，如劳动合同、工资条、考勤记录等，以证明劳动关系及辞退事实。
- 员工可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，通过合法途径维护自己的合法权益。
作为专业律师，我建议公司和员工在处理辞退事宜时均应保持冷静和理性，遵循法律法规的规定，确保过程的合法性和公正性。若您有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。