在申请成为老母的监护人时，如果其中一个儿子不配合，这确实是一个需要细致处理的问题。首先，我们要明确的是，监护人的确定应当遵循法律的规定，并且以被监护人的最大利益为出发点。

针对您提出的情况，根据《民法典》的相关规定，如果对监护人的确定存在争议，可以按照以下步骤进行：

1. 由相关部门指定监护人：

   • 被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门有权指定监护人。这些部门在指定时会考虑被监护人的真实意愿以及最有利于被监护人的原则。

2. 对指定不服的，可向人民法院申请：

   • 如果有关当事人对上述部门指定的监护人不服，他们可以向人民法院申请指定监护人。人民法院在审理时会同样遵循最有利于被监护人的原则，并尊重被监护人的真实意愿。

3. 直接向人民法院申请：

   • 有关当事人也可以选择直接向人民法院申请指定监护人，而不必先经过居民委员会、村民委员会或民政部门的指定。

4. 临时监护人的安排：

   • 在指定监护人之前，如果被监护人的人身权利、财产权利以及其他合法权益处于无人保护状态，那么由被监护人住所地的居民委员会、村民委员会、法律规定的有关组织或者民政部门担任临时监护人，以确保被监护人的权益不受侵害。

5. 监护人指定后的责任：

   • 一旦监护人被指定，他们就不得擅自变更。如果擅自变更，原被指定的监护人仍然需要承担责任。

针对您提到的具体情况，即老母有两个儿子，其中一个不配合申请监护人，您可以首先尝试与不配合的儿子进行沟通，了解他的顾虑和想法，看是否能够达成共识。如果沟通无果，您可以向老母住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门提出申请，请求他们指定监护人。如果对指定结果不服，或者希望直接通过法律途径解决，您也可以向人民法院提起申请。

在整个过程中，最重要的是要确保老母的权益得到最大程度的保护，并且遵循法律的规定和程序。希望这些信息能够对您有所帮助，如果您还有其他问题或需要进一步的法律建议，请随时咨询。