结论：根据您描述的情况，若您已经与单位连续签订了三次固定期限劳动合同，且不存在《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，那么在续订劳动合同时，您有权要求单位签订无固定期限劳动合同。如果单位拒绝签订，您可以通过一系列法律途径来维护自己的合法权益。
一、法律背景与依据
无固定期限劳动合同的订立条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
用人单位的法律责任：
- 如果用人单位违反规定，拒绝与符合条件的劳动者签订无固定期限劳动合同，那么自应当订立无固定期限劳动合同之日起，用人单位需向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿（《劳动合同法》第八十二条）。
二、具体法律建议
优先与公司协商：
- 首先，您可以尝试与公司进行友好协商，明确指出自己符合签订无固定期限劳动合同的条件，并要求公司依法签订。在协商过程中，保持冷静和理性，以达成双方都能接受的解决方案。
向劳动行政部门投诉：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动行政部门投诉。投诉时，应提交相关证据，如劳动合同、工资单、考勤记录等，以证明您与单位之间的劳动关系以及单位未依法签订无固定期限劳动合同的事实。劳动行政部门将依法进行调查处理，并保护您的合法权益。
申请劳动仲裁：
- 若劳动行政部门的处理结果仍不能令您满意，或者您希望直接通过法律途径解决争议，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁前，您需要收集好相关证据，明确仲裁请求，并参加仲裁庭审。仲裁委员会将根据事实和法律作出裁决。
提起诉讼：
- 如果您对劳动仲裁的结果不满意，可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。诉讼过程中，您需要重新整理和补充证据，以支持自己的诉求。由于诉讼过程较为复杂，建议您在此过程中寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保障。
三、注意事项
保留证据：
- 在整个维权过程中，您应确保所有与劳动关系及争议相关的证据都得到妥善保管，以便在需要时提供证明。这些证据可能包括劳动合同、工资支付记录、工作证明、同事证言等。
及时行使权利：
- 注意仲裁时效和诉讼时效的规定，避免因超过时效而丧失维权机会。一般来说，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。
保持冷静与理性：
- 在处理劳动争议时，保持冷静和理性至关重要。通过合法、合理的途径解决问题，避免采取过激行为或言论，以免对您的权益造成不利影响。
四、可能的法律后果
- 如果单位拒绝签订无固定期限劳动合同，且您通过法律途径维权成功，单位可能需要承担支付双倍工资差额、经济补偿金或赔偿金等法律责任。具体责任承担方式将根据仲裁或诉讼结果确定。
作为刘美锋律师，我建议您在处理此类劳动争议时，务必保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。