结论：连续4次签订固定期限劳动合同后，若符合特定条件，劳动者一般不可以主张未签无固定期限劳动合同的双倍工资差额，但具体能否主张及主张的期间需根据实际情况判断。
分析说明：
法律规定背景：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 若用人单位违反上述规定，不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
连续4次签订固定期限劳动合同的情况：
- 在连续4次签订固定期限劳动合同的情况下，关键在于考察劳动者是否满足订立无固定期限劳动合同的条件，以及用人单位是否存在不订立无固定期限劳动合同的违法行为。
- 如果劳动者在每次合同到期后都明确表示愿意续订固定期限劳动合同，或者用人单位有证据证明劳动者主动要求签订固定期限劳动合同，那么用人单位可能不构成违法，劳动者也就无法主张双倍工资差额。
- 如果劳动者在满足订立无固定期限劳动合同条件的情况下，要求签订无固定期限劳动合同而用人单位拒绝，那么从应当订立无固定期限劳动合同之日起，用人单位应向劳动者支付双倍工资差额。
主张双倍工资的期间：
- 如果劳动者符合主张双倍工资的条件，那么主张的期间应从应当订立无固定期限劳动合同之日起计算，至双方实际订立无固定期限劳动合同之日止，或者至劳动者离职之日止（如果劳动者在此期间离职）。
- 具体计算方式为：双倍工资差额 = 劳动者月工资 × 应支付双倍工资的月数。其中，月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
特殊场景：
- 在实践中，如果劳动者在连续签订多次固定期限劳动合同后，才意识到自己可以主张无固定期限劳动合同的权利，那么主张双倍工资的期间可能会受到一定限制。具体来说，如果劳动者在合同到期后未及时提出异议或主张权利，可能会被视为对签订固定期限劳动合同的默认或接受，从而影响双倍工资的主张。
行动建议：
- 对于劳动者而言，如果认为自己符合订立无固定期限劳动合同的条件，而用人单位拒绝签订，应及时向用人单位提出异议，并保留相关证据（如书面通知、聊天记录等）。
- 如果与用人单位协商无果，劳动者可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张自己的合法权益。
- 在整个过程中，建议劳动者咨询专业律师（如我廖世勇律师，专注于劳动纠纷等领域），以获取更具体的法律建议和帮助。
法律后果：
- 如果用人单位被认定存在不订立无固定期限劳动合同的违法行为，除了需要支付双倍工资差额外，还可能面临劳动行政部门的处罚和其他法律责任。
- 对于劳动者而言，如果错误地主张了双倍工资差额，可能会面临败诉的风险，并需要承担相应的诉讼费用。因此，在主张权利前，务必确保自己符合相关条件，并收集充分的证据。