关于您提出的新单位没有签劳动合同能否开调档函的问题，以下是我的详细解答：
首先，需要明确的是，开具调档函并不直接依赖于是否签订了劳动合同。调档函的开具主要是基于档案接收和转递的流程需求，与劳动合同的签订情况无直接关联。
对于您的情况，如果您希望将档案从原存档机构（如高新人才市场）转至新单位所在地的人才市场或原户籍所在地的人才市场，您需要按照以下步骤操作：
联系拟接收档案的机构：
- 您需要先与新单位所在地的人才市场或原户籍所在地的人才市场取得联系，了解他们接收档案的具体要求和流程。
准备相关材料：
- 根据拟接收档案机构的要求，您可能需要准备一些个人身份证明材料，如有效身份证或社会保障卡原件。
- 如果您是代表单位办理档案转递，可能还需要提供单位介绍信等相关材料。但请注意，由于您提到新单位没有签订劳动合同，这一步骤可能因具体情况而异，您最好直接咨询拟接收档案机构以获取准确信息。
申请开具调档函：
- 在准备好相关材料后，您可以向拟接收档案的机构申请开具调档函。这一步骤通常可以通过窗口办理或网上办理完成，具体取决于拟接收档案机构的规定。
- 窗口办理通常即时办结，而网上办理可能需要几个工作日的时间。
办理档案转递手续：
- 拿到调档函后，您需要将其交给原存档机构（如高新人才市场），并按照他们的要求办理档案转递手续。
- 档案转递通常需要一定的时间，具体取决于原存档机构和拟接收档案机构之间的协同办理效率以及邮寄时间等因素。
额外建议：
- 由于您提到的情况涉及档案转递和党组织档案的提取，我建议您在办理过程中保持与原存档机构和拟接收档案机构的密切沟通，以确保所有手续都能顺利办理。
- 如果您在办理过程中遇到任何问题或困难，可以及时向当地的人力资源和社会保障部门或相关监督投诉渠道寻求帮助和支持。
综上所述，新单位没有签劳动合同并不影响您开具调档函和办理档案转递手续。您只需按照拟接收档案机构的要求准备相关材料并申请开具调档函即可。希望这些信息能对您有所帮助。