结论：入职第二个月被公司开除且未提前通知，赔偿金额需根据具体情况确定，一般可能涉及违法解除劳动合同的赔偿金以及未提前通知的代通知金，具体计算方式如下。
一、违法解除劳动合同的赔偿金
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，如果公司违法解除劳动合同，应当向劳动者支付赔偿金。赔偿金的计算标准为：
- 计算公式：赔偿金 = 经济补偿金 × 2
- 经济补偿金计算：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（工作年限不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿）
具体分析：
- 工作年限：由于您入职第二个月被开除，工作年限不满六个月，因此经济补偿金为半个月工资。
- 月工资：月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。如果工作时间不满十二个月，则按照实际工作的月数计算平均工资。
- 赔偿金总额：由于公司违法解除劳动合同，赔偿金为经济补偿金的两倍，即一个月工资。
二、未提前通知的代通知金
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条的规定，有下列情形之一的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同：
- 劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；
- 劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；
- 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的。
具体分析：
- 适用条件：如果公司开除您的原因不符合上述法律规定的情形，且未提前三十日以书面形式通知您，则公司应当支付您一个月工资作为代通知金。
- 代通知金金额：代通知金的金额为您上一个月的工资标准。
三、综合计算与特殊情况
- 综合计算：如果公司违法解除劳动合同且未提前通知，您可能同时获得赔偿金（一个月工资）和代通知金（一个月工资），但具体需根据实际情况和法院判决来确定，因为在实际操作中，代通知金通常是在合法解除但未提前通知的情况下支付，而违法解除的情况下，赔偿金已经涵盖了因违法解除带来的损失。不过，从保护劳动者权益的角度出发，如果公司确实存在既违法解除又未提前通知的情形，劳动者有权主张更高的赔偿，具体需通过法律途径解决。
- 特殊情况：如果公司开除您的原因符合《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的情形（如严重违反用人单位的规章制度、严重失职等），则公司无需支付赔偿金和代通知金。但公司需要承担举证责任，证明您的行为确实符合这些情形。
建议：
- 收集证据：保留好与公司的劳动合同、工资单、开除通知等相关证据，以便在后续的法律程序中维护自己的权益。
- 咨询律师：如果您对赔偿金额或法律程序有疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。
- 申请劳动仲裁：如果与公司协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。