根据中国《劳动合同法》规定，公司连续签订四次固定期限劳动合同后，若劳动者提出续订无固定期限劳动合同，公司应当签订；若公司违法终止或拒绝续订，需承担赔偿或补偿责任。具体赔偿规则如下：

1. 合法终止情形下的经济补偿

若公司因客观原因（如经营困难、劳动合同到期等）依法终止第四次固定期限劳动合同，需支付经济补偿金，标准为：

• 计算方式：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
• 月工资标准：劳动合同终止前十二个月的平均工资（含奖金、津贴等货币性收入），但若月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，按三倍封顶计算，且补偿年限最高不超过十二年。

示例：若劳动者月工资为1万元，工作4年，经济补偿金为4万元（1万×4）。

2. 违法终止情形下的赔偿金

若公司存在以下情形，需支付赔偿金（经济补偿金的二倍）：

• 违法终止：在劳动者符合签订无固定期限劳动合同条件时（如连续签订两次固定期限合同后），公司单方面终止合同；
• 拒绝续订：劳动者提出续订无固定期限合同，公司无正当理由拒绝。

示例：若公司违法终止合同，劳动者工作4年、月工资1万元，赔偿金为8万元（4万×2）。

3. 无固定期限劳动合同的签订条件

根据《劳动合同法》第十四条，劳动者在以下情形下有权要求签订无固定期限合同：

• 连续工作满十年；
• 连续签订两次固定期限合同后，且劳动者无《劳动合同法》第三十九条（如严重违纪）和第四十条第一项、第二项（如医疗期满不能工作）规定的情形；
• 公司初次实行劳动合同制度或国企改制重新订立劳动合同时，劳动者已连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年。

关键点：若劳动者已满足签订无固定期限合同的条件（如连续签订两次后），公司仍签订第三次、第四次固定期限合同，劳动者可在第四次合同到期时主张签订无固定期限合同，公司拒绝则构成违法终止。

4. 实务建议

• 劳动者：保留劳动合同、工资记录等证据，若公司违法终止，可申请劳动仲裁主张赔偿金；
• 公司：避免连续签订多次固定期限合同后违法终止，否则需承担高额赔偿；可依法与劳动者协商终止合同并支付经济补偿。

如有进一步疑问（如具体计算、证据收集等），可直接向我咨询，我会结合您的实际情况详细解答。