不签劳动合同的责任主要在公司（用人单位）一方，但劳动者也可能承担一定责任，具体分析如下：
公司（用人单位）的责任：
- 法定义务：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，建立劳动关系时，用人单位应当主动、及时与劳动者签订书面劳动合同。这是法律对用人单位的基本要求，也是保障劳动者权益的重要基础。
- 赔偿义务：如果公司自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，那么公司应当向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。若公司自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，则视为公司与劳动者已订立无固定期限劳动合同，这意味着公司将承担更长期的法律责任。
劳动者的可能责任：
- 配合义务：虽然实践中主要强调公司的责任，但劳动者也有义务配合公司签订合同。如果劳动者故意或由于重大过失拒绝签订劳动合同，并且公司已经履行了合理的催告等义务，那么在极端情况下，公司的责任可能会得到一定程度的减轻。
- 责任认定难度：然而，这种情形的认定通常较为困难，需要充分的证据支持。例如，公司需要证明劳动者存在故意或重大过失拒绝签订合同的行为，以及公司已经履行了合理的催告等义务。
法律建议：
对于公司：
- 应当严格遵守法律规定，及时与劳动者签订书面劳动合同，以避免不必要的法律纠纷和赔偿义务。
- 如果劳动者拒绝签订合同，公司应当保留相关证据，如催告记录、劳动者拒绝签订的书面声明等，以备不时之需。
对于劳动者：
- 应当积极配合公司完成合同签订工作，以保障自己的合法权益。
- 如果公司未按时签订合同，劳动者可以与公司沟通协商，要求签订合同并主张相应的赔偿。
- 如果沟通无果，劳动者可以向当地的劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
可能法律后果：
- 如果公司未按时与劳动者签订书面劳动合同，将面临支付双倍工资或视为已订立无固定期限劳动合同的法律后果。
- 如果劳动者故意或重大过失拒绝签订合同，且公司能够证明这一点，那么劳动者的行为可能会影响其主张赔偿的权益。
综上所述，不签劳动合同的责任主要在公司一方，但劳动者也应积极配合签订合同以避免纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。